Kineetiline energia pöörleva keha suurus võrdub keha kõigi osakeste kineetiliste energiate summaga:

Mis tahes osakese mass, selle lineaarne (ümbermõõt) kiirus, võrdeline antud osakese kaugusega pöörlemisteljest. Asendades selle väljendi ja võttes välja summaarse nurkkiiruse o kõikide osakeste suhtes, mis asuvad väljaspool summa märki, leiame:

Seda pöörleva keha kineetilise energia valemit saab taandada translatsioonilise liikumise kineetilise energia avaldisega sarnasele vormile, kui tutvustame keha niinimetatud inertsimomendi väärtust. Materiaalse punkti inertsimoment on punkti massi korrutis selle kauguse ruuduga pöörlemisteljest. Keha inertsimoment on keha kõigi materiaalsete punktide inertsimomentide summa:

Niisiis, pöörleva keha kineetiline energia määratakse järgmise valemi abil:

Valem (2) erineb valemist, mis määrab keha kineetilise energia translatsiooniliikumisel, selle poolest, et kehamassi asemel on siia lisatud inertsmoment I ja kiiruse asemel rühma kiirus

Pöörleva hooratta suurt kineetilist energiat kasutatakse tehnoloogias masina ühtluse säilitamiseks järsult muutuva koormuse korral. Esialgu tuleb suure inertsimomendiga hooratta pöörlemiseks masinalt märkimisväärselt tööd teha, kuid suure koormuse ootamatu sisselülitamisel masin ei peatu ja teeb tööd hooratta kineetilise energia varu.

Eriti massiivseid hoorattaid kasutatakse elektrimootoriga juhitavates valtsveskites. Siin on ühe sellise ratta kirjeldus: „Ratas on 3,5 m läbimõõduga ja kaalub. Normaalse kiirusega 600 p / min on ratta kineetilise energia varu selline, et ratta veeremise hetkel annab veski võimsus 20 000 hj. koos. Laagrite hõõrdumist minimeerib muinasjutt rõhu all ja et vältida tsentrifugaalsete inertsijõudude kahjulikku toimet, on ratas tasakaalustatud nii, et ratta ümbermõõdule pandud koormus toob selle puhkeseisundist välja. "

Anname (ilma arvutusi tegemata) mõne keha inertsimomentide väärtused (eeldatakse, et kõigil neil kehadel on kõigis oma lõikudes sama tihedus).

Õhukese rõnga inertsmoment telje ümber, mis läbib selle keskpunkti ja on risti selle tasapinnaga (joonis 55):

Ringikujulise ketta (või silindri) inertsimoment selle keskpunkti läbiva ja selle tasapinnaga risti oleva telje suhtes (ketta polaarne inertsimoment; joonis 56):

Õhukese ümmarguse ketta inertsimoment telje ümber langeb kokku selle läbimõõduga (ketta ekvatoriaalne inertsimoment; joonis 57):

Palli inertsimoment kuuli keskpunkti läbiva telje ümber:

Õhukese sfäärilise raadiukihi inertsimoment keskpunkti läbiva telje suhtes:

Paksu sfäärilise kihi (õõneskera välispinna raadiuse ja õõnsuse raadiusega) inertsimoment tsentrit läbiva telje suhtes:

Kehade inertsmomentide arvutamine toimub integraalkalkulatsiooni abil. Et anda aimu selliste arvutuste käigust, leiame varda inertsmomendi selle suhtes risti oleva telje suhtes (joonis 58). Olgu varda ristlõige, tihedus. Valime varda elementaarse väikese osa, mille pikkus on ja mis asub pöörlemisteljest x kaugusel. Siis selle mass Kuna see asub pöörlemisteljest x kaugusel, siis selle inertsimoment integreerume vahemikku null kuni I:

Ristkülikukujulise rööptahuka inertsmoment sümmeetriatelje suhtes (joonis 59)

Rõnga toruse inertsimoment (joonis 60)

Mõelgem, kuidas mööda tasapinda veereva (ilma libisemiseta) keha pöörlemise energia on seotud selle keha translatsioonilise liikumise energiaga,

Veereva keha translatsioonilise liikumise energia on võrdne, kus on keha mass ja translatsioonilise liikumise kiirus. Lubage tähistada veereva keha pöörlemiskiirust ja keha raadiust. Lihtne on aru saada, et libisemata veereva keha translatsioonilise liikumise kiirus on võrdne keha ümbermõõdu kiirusega keha ja tasapinna kokkupuutepunktides (ajal, mil keha teeb ühe pöörde, keha raskuskese liigutab kaugust, seetõttu

Seega

Pöörleva energia

seega,

Asendades siin inertsmomentide ülaltoodud väärtused, leiame, et:

a) veereva rõnga pöörlemisliikumise energia on võrdne selle translatsiooniliikumise energiaga;

b) veereva homogeense ketta pöörlemisenergia on võrdne poolega translatsioonilise liikumise energiast;

c) veereva homogeense palli pöörlemisenergia on translatsioonilise liikumise energia.

Inertsmomendi sõltuvus pöörlemistelje asendist. Laske vardal (joonis 61), mille raskuskese on punktis C, pöörlema ​​nurkkiirusega (ümber telje O, joonise tasapinnaga risti. Oletame, et teatud aja jooksul on see liikunud asendist AB asendisse raskuskeskme kirjeldus kaar See on varda liikumine, mida võib käsitleda nii, nagu varda liiguks esmalt translatiivselt (st jääks endaga paralleelselt) asendisse ja pööraks seejärel ümber C asendisse. Ja selles asendis kõik selle osakesed on raskuskeskme nihkumisega ühesugused, see tähendab, et see on võrdne või Varda tegeliku liikumise saamiseks võime eeldada, et mõlemad need liigutused sooritatakse samaaegselt. ümber telje O, võib jagada kaheks osaks.

Loeng 3. Jäiga keha dünaamika

Loengukava

3.1. Võimu hetk.

3.2. Pöörleva liikumise põhivõrrandid. Inertsmoment.

3.3. Pöörlemise kineetiline energia.

3.4. Impulsi hetk. Nurgamomendi säilimise seadus.

3.5. Analoogia translatsioonilise ja pöörleva liikumise vahel.

Võimu hetk

Mõelge jäiga keha liikumisele ümber kindla telje. Jäigal kehal on kindel pöörlemistelg OO ( Joonis 3.1) ja sellele rakendatakse suvalist jõudu.

Riis. 3.1

Lahutame jõu kaheks jõu komponendiks, jõud asub pöörlemistasandil ja jõud on pöörlemisteljega paralleelne. Seejärel lagundame jõu kaheks komponendiks: - toimides piki raadiuse vektorit ja - sellega risti.

Mitte iga kehale rakendatav jõud ei pööra seda. Jõud tekitavad laagritele survet, kuid ei pööra seda.

Jõud võib keha tasakaalust välja viia või mitte, sõltuvalt sellest, kus raadiuse vektoris seda rakendatakse. Seetõttu võetakse kasutusele mõiste telje ümber asuvast jõumomendist. Võimu hetk pöörlemistelje suhtes nimetatakse raadiuse vektori ja jõu vektorproduktiks.

Vektor on suunatud piki pöörlemistelge ja selle määrab ristprodukti reegel või parema kruvi reegel või kardaanireegel.

Pöördemomendi moodul

kus α on vektorite ja nurk.

Jooniselt 3.1. see on selge, et .

r 0- lühim vahemaa pöörlemisteljest jõu jõu jooneni ja seda nimetatakse jõu õlaks. Siis saab jõumomendi kirja panna

M = F r 0 . (3.3)

Joonis fig. 3.1.

kus F- vektorprojektsioon raadiuse vektoriga risti. Sel juhul on jõumoment

. (3.4)

Kui kehale mõjub mitu jõudu, siis on saadud jõumoment võrdne üksikute jõudude momentide vektorisummaga, kuid kuna kõik momendid on suunatud piki telge, saab need asendada algebralise summaga. Hetke loetakse positiivseks, kui see pöörab keha päripäeva ja negatiivset vastupäeva. Kui kõik jõudude momendid () on võrdsed nulliga, on keha tasakaalus.

Jõumomendi kontseptsiooni saab demonstreerida "kapriisse pooli" abil. Niidirulli tõmbab niidi vaba ots ( riis. 3.2).

Riis. 3.2

Sõltuvalt niidi pingutamise suunast veereb pool edasi ühele või teisele poole. Kui tõmbad viltu α , siis jõumoment telje ümber O(pildiga risti) pöörab mähist vastupäeva ja see rullub tagasi. Nurga all oleva pinge korral β pöördemoment on vastupäeva ja mähis veereb edasi.

Tasakaalutingimust () kasutades on võimalik konstrueerida lihtsaid mehhanisme, mis on jõu "trafod", s.t. väiksemat jõudu rakendades saab tõsta ja liigutada erinev kaal lasti. Sellel põhimõttel põhinevad hoovad, kärud, mitmesugused ehitusplokkides kasutatavad plokid. Ehituskraanade tasakaalu säilitamiseks, et kompenseerida koormuse kaalust põhjustatud jõumomenti, on alati olemas vastukaalusüsteem, mis tekitab vastupidise märgi jõumomendi.

3.2. Pöörlemise põhivõrrand
liikumine. Inertsmoment

Mõelge absoluutselt jäigale kehale, mis pöörleb ümber kindla telje OO(Joonis 3.3). Murrame selle keha vaimselt elementideks, mille mass on Δ m 1, Δ m 2, …, Δ m n... Pööramisel kirjeldavad need elemendid raadiusega ringe r 1,r 2 , …,r n... Iga elemendi puhul toimivad jõud vastavalt F 1,F 2 , …,F n... Keha pöörlemine ümber telje OO toimub täieliku pöördemomendi toimel M.

M = M 1 + M 2 + ... + M n (3.4)

kus M 1 = F 1 r 1, M 2 = F 2 r 2, ..., M n = F n r n

Vastavalt Newtoni II seadusele iga jõud F toimides massi D elemendile m, põhjustab antud elemendi kiirenduse a, st.

F i = D m i a i (3.5)

Asendades vastavad väärtused (3.4), saame

Riis. 3.3

Lineaarse nurkkiirenduse vahelise seose tundmine ε () ja et kõigi elementide nurkkiirendus on sama, on valemil (3.6) vorm

M = (3.7)

=Mina (3.8)

Mina- keha inertsimoment fikseeritud telje ümber.

Siis saame

М = I ε (3.9)

Või vektorkujul

(3.10)

See võrrand on pöörleva liikumise dünaamika põhivõrrand. Vormilt sarnaneb see Newtoni seaduse võrrandiga II. Alates (3.10) on inertsimoment võrdne

Seega on antud keha inertsimoment jõumomendi ja sellest tingitud nurkkiirenduse suhe. Alates (3.11) on näha, et inertsimoment on keha inertsi mõõt pöörleva liikumise suhtes. Inertsmoment mängib translatsiooniliikumises sama rolli kui mass. Mõõtühik SI -s [ Mina] = kg · m 2. Valemist (3.7) järeldub, et inertsimoment iseloomustab kehaosakeste massi jaotumist pöörlemistelje suhtes.

Niisiis, raadiuse r ringil liikuva massiga elementm elemendi inertsimoment on võrdne

I = r 2 D m (3.12)

Mina = (3.13)

Pideva massijaotuse korral saab summa asendada integraaliga

I = ∫ r 2 dm (3.14)

kus integreerimine toimub kogu kehamassi ulatuses.

Seega on näha, et keha inertsimoment sõltub massist ja selle jaotusest pöörlemistelje suhtes. Seda saab eksperimentaalselt tõestada ( Joonis 3.4).

Riis. 3.4

Kaks ümmargust silindrit, üks õõnes (näiteks metallist), teine ​​tahke (puidust) sama pikkuse, raadiuse ja massiga, hakkavad samaaegselt veerema. Õõnes silinder, millel on suur inertsimoment, jääb tahkest silindrist maha.

Inertsmomenti saab arvutada, kui mass on teada m ja selle jaotus ümber pöörlemistelje. Lihtsaim juhtum on rõngas, kui kõik massi elemendid asuvad pöörlemisteljest võrdselt ( riis. 3.5):

Mina = (3.15)

Riis. 3.5

Esitame väljendid erinevate sümmeetriliste kehade inertsmomentide kohta massiga m.

1. Inertsmoment rõngad, õõnes õhukese seinaga silinder pöörlemistelje ümber, mis langeb kokku sümmeetriateljega.

, (3.16)

r- rõnga või silindri raadius

2. Tahke silindri ja ketta puhul inertsimoment sümmeetriatelje ümber

(3.17)

3. Palli inertsimoment tsentrit läbiva telje ümber

(3.18)

r- kuuli raadius

4. Õhukese pika varda inertsimoment l varda suhtes risti oleva telje suhtes ja läbib selle keskosa

(3.19)

l Kas varda pikkus.

Kui pöörlemistelg ei liigu läbi massikeskme, siis määratakse keha inertsimoment selle telje ümber Steineri teoreemi abil.

(3.20)

Selle teoreemi kohaselt on inertsimoment suvalise telje O'O ( ) võrdub inertsmomendiga keha paralleelse telje ümber, mis läbib keha massikeskust ( ) pluss kehamassi ja kauguse ruudu korrutis a telgede vahel ( riis. 3.6).

Riis. 3.6

Pöörlemise kineetiline energia

Mõelge absoluutselt jäiga keha pöörlemisele ümber nurkkiirusega fikseeritud telje OO ω (riis. 3.7). Murrame tahke aine sisse n elementaarsed massid ∆ m i... Iga massielement pöörleb raadiuse ringis r i lineaarse kiirusega (). Kineetiline energia koosneb üksikute elementide kineetilistest energiatest.

(3.21)

Riis. 3.7

Tuletage meelde (3.13), et - inertsimoment OO telje ümber.

Seega pöörleva keha kineetiline energia

E k = (3.22)

Kaalusime pöörlemise kineetilist energiat ümber fikseeritud telje. Kui keha osaleb kahes liikumises: translatsioonilistes ja pöörlevates liigutustes, siis koosneb keha kineetiline energia translatsiooniliikumise kineetilisest energiast ja pöörlemise kineetilisest energiast.

Näiteks massiga pall m rullimine; palli massikeskus liigub translatiivselt kiirusega u (riis. 3.8).

Riis. 3.8

Palli kogu kineetiline energia on võrdne

(3.23)

3.4. Impulsi hetk. Hoiuõigus
nurkkiirus

Füüsikaline suurus võrdub inertsimomendi korrutisega Mina nurkkiirus ω , mida nimetatakse nurkkiiruseks (nurkkiirus) L pöörlemistelje ümber.

- nurkkiirus on vektori suurus ja langeb kokku nurkkiiruse suunaga.

Diferentseerides võrrandi (3.24) aja suhtes, saame

kus, M- välisjõudude kogumoment. Isoleeritud süsteemis puudub väliste jõudude moment ( M= 0) ja

1. Mõtle keha ümberpööramisele liikumatult Z -telg. Jagame kogu keha elementaarsete masside kogumiks m i... Elementaarmassi lineaarne kiirus m i- v i = w R i kus R. i- massi kaugus m i pöörlemisteljest. Seetõttu kineetiline energia i elementaarmass on võrdne ... Keha kogu kineetiline energia: , siin on keha inertsimoment pöörlemistelje suhtes.

Seega on ümber fikseeritud telje pöörleva keha kineetiline energia võrdne:

2. Nüüd lase kehal pöörleb mõne telje ja iseenda suhtes telg liigub järk -järgult, jäädes iseendaga paralleelseks.

NÄIDE: ilma libisemiseta veerev pall teeb pöörleva liikumise ja selle raskuskese, millest pöörlemistelg läbib (punkt "O"), liigub translatiivselt (joonis 4.17).

Kiirus i-elementaarne kehamass on , kus on keha mõne punkti "O" kiirus; - raadiuse vektor, mis määrab algmassi asukoha punkti "O" suhtes.

Elementaarmassi kineetiline energia on võrdne:

MÄRKUS: vektorprodukt langeb vektori suunas kokku ja selle moodul on võrdne (joonis 4.18).

Seda märkust arvesse võttes saame selle kirja panna , kus on massi kaugus pöörlemisteljest. Teisel perioodil teeme tegurite tsüklilise permutatsiooni, mille järel saame

Keha kogu kineetilise energia saamiseks liidame selle avaldise kõigi algmassidega, võttes summa märgi jaoks välja konstantsed tegurid. Saame

Elementaarmasside summa on keha mass "m". Väljend on võrdne kehamassi korrutisega keha inertsikeskuse raadiuse vektori järgi (inertsikeskme definitsiooni järgi). Lõpuks - keha inertsimoment punkti "O" läbiva telje ümber. Seetõttu võime kirjutada

.

Kui võtta keha inertsikeskus “C” punktiks “O”, on raadiuse vektor võrdne nulliga ja teine ​​liige kaob. Siis, tähistades läbi - inertsikeskme kiirust ja läbi - keha inertsimomenti punkti C läbiva telje suhtes, saame:

(4.6)

Seega koosneb tasapinnalises liikumises oleva keha kineetiline energia translatsioonilise liikumise energiast, mille kiirus on võrdne inertsi keskpunkti kiirusega, ja keha inertsikeskust läbiva telje ümber pöörlemise energiast.

Väliste jõudude töö jäiga keha pöörlemisliikumise ajal.

Leidkem jõudude tehtud töö, kui keha pöörleb ümber fikseeritud telje Z.

Laske sisejõul ja välisjõul mõjuda massile (tekkiv jõud asub pöörlemisteljega risti asetseval tasapinnal) (joonis 4.19). Need jõud pühenduvad õigeaegselt dt töö:

Olles läbi viinud tegurite tsüklilise permutatsiooni vektorite segatoodetes, leiame:

kus - vastavalt sise- ja välisjõudude momendid punkti "O" suhtes.

Kõiki elementaarseid masse kokku võttes saame elementaarsed tööd selle aja jooksul kehaga tehtud dt:

Sisejõudude momentide summa on võrdne nulliga. Siis, tähistades väliste jõudude koguhetke, jõuame väljendini:

.

On teada, et kahe vektori skalaarprodukt on skalaar, mis on võrdne ühe korrutatud vektori mooduli korrutisega teise projektsiooniga esimese suunas, võttes arvesse, et (Z -i suunad telg ja langevad kokku), saame

,

aga w dt=d j, st. nurk, millega keha ajas pöörleb dt... Sellepärast

.

Töö märk sõltub M z märgist, s.t. vektori projektsiooni märgist vektori suunale.

Niisiis, kui keha pöörleb, ei tee sisejõud tööd ja välisjõudude töö määratakse valemiga .

Teos piiratud aja jooksul leitakse integreerides

.

Kui sellest tuleneva väliste jõudude momendi projektsioon suunale jääb konstantseks, võib selle viia integraalmärgist väljapoole:

, st. ...

Need. välisjõu töö keha pöörleva liikumise ajal on võrdne välise jõu momendi projektsiooni korrutisega pöörlemissuuna ja -nurga järgi.

Teisest küljest kasutatakse kehale mõjuva välise jõu tööd keha kineetilise energia suurendamiseks (või võrdub pöörleva keha kineetilise energia muutusega). Näitame seda:

;

Seega

. (4.7)

Omal käel:

Elastsed jõud;

Hooke'i seadus.

Hüdrodünaamika

Voolud ja voolikud.

Hüdrodünaamika uurib vedelike liikumist, kuid selle seadused kehtivad gaaside liikumise kohta. Statsionaarses vedeliku voos on selle osakeste kiirus igas ruumi punktis suurus, mis ei sõltu ajast ja on koordinaatide funktsioon. Statsionaarse voolu korral moodustavad vedelate osakeste trajektoorid voolujoone. Voolujoonte kogum moodustab voolutoru (joonis 5.1). Eeldame, et vedelik on kokkusurumatu, siis lõikude kaudu voolava vedeliku maht S 1 ja S 2 saab olema sama. Sekundi jooksul on vedeliku maht võrdne

, (5.1)

kus ja kus on vedelike kiirused sektsioonides S 1 ja S 2 ja vektorid ning need on määratletud kui ja, kus ja on jaotiste normaalsed S 1 ja S 2. Võrrandit (5.1) nimetatakse reaktiivjoa järjepidevuse võrrandiks. Sellest järeldub, et vedeliku kiirus on pöördvõrdeline voolutoru ristlõikega.

Bernoulli võrrand.

Vaatleme ideaalset kokkusurumatut vedelikku, milles puudub sisemine hõõrdumine (viskoossus). Valime statsionaarses voolavas vedelikus õhukese ristlõikega toru (joonis 5.2) S 1 ja S 2 voolujoontega risti. Sektsioonis 1 lühikese aja jooksul t osakesed liiguvad teatud kaugusele l 1 ja jaotises 2 - kaugel l 2... Mõlemast lõigust läbi aja t sama väike kogus vedelikku läbib V= V 1 = V 2 ja kandke vedeliku mass üle m = rV, kus r on vedeliku tihedus. Üldiselt kogu sektsiooni vahelise voolutoru vedeliku mehaanilise energia muutus S 1 ja S 2 see juhtus aja jooksul t, võib asendada helitugevuse energia muutusega V mis juhtus, kui see kolis 1. jaost 2. jaotisesse. Sellise liikumise korral muutub selle mahu kineetiline ja potentsiaalne energia ning selle energia täielik muutus

, (5.2)

kus v 1 ja v 2 - vedelate osakeste kiirus osades S 1 ja S 2 vastavalt; g- raskuskiirendus; h 1 ja h 2- sektsioonide keskosa kõrgus.

V ideaalne vedelik puuduvad hõõrdekadud, seega energiavõit DE peaks olema võrdne tööga, mida survestatud jõud annavad tehtud mahule. Hõõrdejõudude puudumisel töötab see:

Võrdsuse (5.2) ja (5.3) parempoolsete külgede võrdsustamine ja samade indeksitega terminite ülekandmine võrdsuse ühele poolele

. (5.4)

Toruosad S 1 ja S 2 võeti meelevaldselt, seega võib väita, et praeguse toru mis tahes ristlõikes avaldis

. (5.5)

Võrrandit (5.5) nimetatakse Bernoulli võrrandiks. Horisontaalse voolujoone jaoks h = const, ja võrdsus (5.4) võtab vormi

r /2 + p 1 = r /2 + lk 2 , (5.6)

neid. rõhk on väiksem nendes punktides, kus kiirus on suurem.

Sisemised hõõrdejõud.

Tõelisel vedelikul on viskoossus, mis väljendub selles, et igasugune vedeliku ja gaasi liikumine peatub spontaanselt selle põhjustanud põhjuste puudumisel. Mõelge eksperimendile, mille käigus vedeliku kiht asub fikseeritud pinna kohal ja ülevalt liigub kiirusega, plaat ujub pinnaga S(joonis 5.3). Kogemus näitab, et plaadi pideva kiirusega liigutamiseks on vaja sellele jõuga tegutseda. Kuna plaat ei saa kiirendust, tähendab see, et selle jõu mõju tasakaalustab teine, suuruselt võrdne ja vastupidiselt suunatud jõud, mis on hõõrdejõud . Newton näitas, et hõõrdejõud

, (5.7)

kus d on vedeliku kihi paksus, h on vedeliku viskoossustegur või hõõrdetegur, miinusmärk võtab arvesse vektorite erinevat suunda F tr ja v o. Kui uurime vedelate osakeste kiirust kihi erinevates kohtades, selgub, et see muutub vastavalt lineaarsele seadusele (joonis 5.3):

v (z) = = (v 0 / d) z.

Seda võrdsust eristades saame dv / dz= v 0 / d... Seda silmas pidades

F tr=- h (dv / dz) S , (5.8)

kus h - dünaamiline viskoossuskoefitsient... Kogus dv / dz mida nimetatakse kiiruse gradiendiks. See näitab, kui kiiresti kiirus telje suunas muutub. z... Kell dv / dz= const kiiruse gradient on arvuliselt võrdne kiiruse muutusega v kui see muutub zühiku kohta. Seame valemis (5.8) arvuliselt dv / dz =-1 ja S= 1, saame h = F... see tähendab füüsiline tähendus h: viskoossuskoefitsient on arvuliselt võrdne jõuga, mis toimib pindalaühiku vedelale kihile kiirusega, mis on võrdne ühtsusega. Viskoossuse SI-ühikut nimetatakse paskal-sekundiks (tähistatud Pa s). CGS -süsteemis on viskoossuse ühik 1 poise (P), 1 Pa s = 10P.

Mõelge absoluutselt jäigale kehale, mis pöörleb ümber kindla telje. Murrame vaimselt selle keha lõpmatult väikesteks tükkideks, mille mõõtmed ja mass on lõpmata väikesed m v t., t 3,... kaugustel R v R 0, R 3, ... teljelt. Pöörleva keha kineetiline energia leiame selle väikeste osade kineetilise energia summana:

- inertsmoment jäik keha antud telje suhtes 00,. Translatsiooniliste ja pöörlevate liikumiste kineetilise energia valemite võrdlusest nähtub, et inertsmoment pöörlevas liikumises on analoogne translatsioonilise liikumise massiga. Valem (4.14) on mugav üksikutest materjalipunktidest koosnevate süsteemide inertsimomendi arvutamiseks. Tahkete kehade inertsmomendi arvutamiseks, kasutades integraali definitsiooni, saab selle vormiks muuta

On lihtne näha, et inertsimoment sõltub telje valikust ja muutub selle paralleelse teisaldamise ja pöörlemisega. Leidkem mõne homogeense keha inertsimomentide väärtused.

Valemist (4.14) ilmneb, et materiaalse punkti inertsmoment on võrdne

kus T - punktmass; R - kaugus pöörlemisteljest.

Inertsmomenti ja selle jaoks on lihtne arvutada õõnes õhukese seinaga silinder(või väikese kõrgusega silindri erikarp - õhuke rõngas) raadius R sümmeetriatelje ümber. Sellise keha kõigi punktide pöörlemistelje kaugus on sama, võrdne raadiusega ja selle saab summamärgi (4.14) alt välja võtta:

Riis. 4.5

Tugev silinder(või väikese kõrgusega silindri erikarp - ketas) raadius R sümmeetriatelje ümber oleva inertsimomendi arvutamiseks on vaja arvutada integraal (4.15). Eelnevalt võib aru saada, et sel juhul on mass keskmiselt teljele mõnevõrra lähemal kui õõnes silindri puhul ja valem sarnaneb punktiga (4.17), kuid koefitsient on väiksem kui ühtsus ilmuvad sellesse. Leiame selle koefitsiendi. Olgu tahke silindri tihedus p ja kõrgus A. Jagame selle õõnsaks silindriks (õhukesed silindrilised pinnad) paksusega dr(Joonis 4.5 näitab sümmeetriateljega risti olevat projektsiooni). Sellise raadiusega õõnsa silindri ruumala on võrdne pindalaga, mis on korrutatud paksusega: dV = 2 nrhdr, kaal: dm = 2 nphrdr, ja inertsimoment vastavalt valemile (4.17): dj =

= r 2 dm = 2lr /? G Wr. Tahke silindri kogu inertsimoment saadakse õõnsate silindrite inertsimomentide integreerimisel (summeerimisel):

Samamoodi otsitakse seda õhukese latti inertsimoment pikkus L ja massid T, kui pöörlemistelg on vardaga risti ja läbib selle keskosa. Lööme selle maha

Võttes arvesse asjaolu, et tahke silindri mass on valemiga seotud tihedusega t = nR 2 hj, meil lõpuks on tahke silindri inertsimoment:

Riis. 4.6

varras vastavalt joonisele fig. 4,6 paksusteks tükkideks dl. Sellise tüki mass on dm = mdl / l, ja inertsimoment vastavalt valemile (4.6): dj = l 2 dm = l 2 mdl / L.Õhukese varda kogu inertsimoment saadakse tükkide inertsimomentide integreerimisel (summeerimisel):

Elementaalse integraali võtmine annab õhukese pikkusega varda inertsimomendi L ja massid T

Riis. 4.7

Integraali võetakse otsimisel mõnevõrra raskemaks homogeense palli inertsmoment raadius R ja massid / 77 sümmeetriatelje ümber. Olgu tahke kuuli tihedus p. Jaotame selle vastavalt joonisele fig. 4.7 õõnsate õhukeste silindrite jaoks paksusega dr, mille sümmeetriatelg langeb kokku kuuli pöörlemisteljega. Sellise raadiusega õõnsa silindri maht G võrdub pindalaga paksusega:

kus on silindri kõrgus? h leiti Pythagorase teoreemi abil:

Siis on õõnsa silindri massi lihtne leida:

ja ka inertsimoment vastavalt valemile (4.15):

Tahke kuuli kogu inertsimoment saadakse õõnsate silindrite inertsimomentide integreerimisel (summeerimisel):

Võttes arvesse asjaolu, et tahke kuuli mass on seotud kuju tihedusega - 4.

lojaalne T = -npR A a lõpuks on meil telje ümber inertsimoment

raadiusega homogeense palli sümmeetria R massid T:

Ülesanded

1. Tehke kindlaks, mitu korda on efektiivne mass suurem kui 4000 tonni rongi gravitatsioonimassist, kui rataste mass on 15% rongi massist. Pidage rattaid ketasteks läbimõõduga 1,02 m. Kuidas muutub vastus, kui rataste läbimõõt on kaks korda väiksem?

2. Määrake kiirendus, millega 1200 kg kaaluv rattapaar veereb allamäge, mille kalle on 0,08. Pidage rattaid ketasteks. Veeretakistuskoefitsient 0,004. Määrake rataste haardumisjõud rööbaste külge.

3. Määrake kiirendus, millega rattapaar massiga 1400 kg veereb üles mäest, mille kalle on 0,05. Vastupidavustegur 0,002. Milline peaks olema haardetegur, et rattad ei libiseks. Pidage rattaid ketasteks.

4. Tehke kindlaks, millise kiirendusega veereb 40 tonni kaaluv auto 0,020 kallakuga mäest alla, kui tal on kaheksa ratast kaaluga 1200 kg ja läbimõõt 1,02 m. Vastupidavustegur 0,003.

5. Määrake piduriklotside survejõud rehvidele, kui 4000 t kaaluv rong pidurdab kiirusega 0,3 m / s 2. Ühe rattapaari inertsimoment on 600 kg · m 2, telgede arv 400, padja libiseva hõõrdetegur 0,18 ja veeretakistustegur 0,004.

6. Määrake 60-tonnise massiga neliteljelisele autole mõjuv pidurdusjõud küüru piduriplatvormil, kui kiirus 30 m rajal on vähenenud 2 m / s 1,5 m / s. Ühe rattapaari inertsimoment on 500 kg · m 2.

7. Veduri kiirusmõõtur näitas rongi kiiruse suurenemist ühe minuti jooksul 10 m / s -lt 60 m / s -le. Tõenäoliselt oli juhtiva rattapaari libisemine. Määrake elektrimootori armatuurile mõjuv jõud. Rattapaari inertsimoment on 600 kg m 2, armatuur on 120 kg m 2. Käigukasti ülekandearv on 4,2. Survejõud rööbastele on 200 kN, rataste libisemishõõrdetegur rööbastel on 0,10.

11. ROTAARI KINETILINE ENERGIA

Liikumine

Tuletame pöörleva liikumise kineetilise energia valemi. Laske kehal pöörduda nurkkiirusega ω fikseeritud telje suhtes. Igasugune väike kehaosake teeb ringikujulise liikumise kiirusega kus r i - pöörlemistelje kaugus, orbiidi raadius. Osakeste kineetiline energia massid m i on võrdne. Osakeste süsteemi kogu kineetiline energia on võrdne nende kineetilise energia summaga. Võtame kokku kehaosakeste kineetilise energia valemid ja võtame summa märkist välja pool nurkkiiruse ruudu, mis on kõigi osakeste jaoks sama ,. Osakeste masside korrutiste summa nende pöörlemistelje kauguste ruutude järgi on keha inertsimoment pöörlemistelje suhtes . Niisiis, ümber fikseeritud telje pöörleva keha kineetiline energia võrdub poolega keha inertsmomendi korrutisest telje ümber pöörlemiskiiruse ruudu võrra:

Pöörlevate kehade abil saate salvestada mehaaniline energia... Selliseid kehasid nimetatakse hooratasteks. Tavaliselt on need revolutsioonilised kehad. Hoorataste kasutamine pottseppades on teada juba antiikajast. Sisepõlemismootorites annab kolv töökäigu ajal hoorattale mehaanilist energiat, mis seejärel teeb tööd kolme järgneva käigu jaoks mootori võlli pööramiseks. Stantsides ja pressides ajab hooratas pöörlema ​​suhteliselt väikese võimsusega elektrimootor, kogub mehaanilist energiat peaaegu täispöörde ajal ja annab lühikese löögihetkel tembeldustööle.

On mitmeid katseid kasutada pöörlevaid hoorattaid sõidukite juhtimiseks: autod, bussid. Neid nimetatakse mahomobiliks, gyrocariks. Selliseid eksperimentaalseid masinaid on loodud palju. Paljulubav oleks elektrirongide pidurdamisel energia salvestamiseks kasutada hoorattaid, et kogunenud energiat järgneva kiirenduse ajal ära kasutada. Hooratta energia salvestamist kasutatakse teadaolevalt New Yorgi metroorongides.