Kui puudutate märkmiku lehte hästi teritatud pliiatsiga, jääb jälg, mis annab aimu asjast. (joonis 3).

Märgime paberile kaks punkti A ja B. Neid punkte saab ühendada erinevate joontega (joonis 4). Kuidas ühendada punktid A ja B lühima joonega? Seda saab teha joonlauaga (joonis 5). Saadud rida nimetatakse segment.

Punkt ja joon - näited geomeetrilised kujundid.

Punkte A ja B nimetatakse segmendi otsad.

On ainult üks lõik, mille otsad on punktid A ja B. Seetõttu tähistatakse lõiku, kirjutades üles punktid, mis on selle otsad. Näiteks joonisel 5 olevat segmenti tähistatakse ühel kahest viisist: AB või BA. Loe: "segment AB" või "segment BA".

Joonis 6 näitab kolme rida. Segmendi AB pikkus on 1 cm. See asetatakse segmenti MN täpselt kolm korda ja segmendis EF täpselt 4 korda. Me ütleme seda segmendi pikkus MN on 3 cm ja EF on 4 cm.

Samuti on tavaks öelda: "segment MN on võrdne 3 cm", "segment EF võrdub 4 cm". Nad kirjutavad: MN = 3 cm, EF = 4 cm.

Mõõtsime segmentide MN ja EF pikkused üks segment, mille pikkus on 1 cm. Segmendi mõõtmiseks võite valida muu pikkuse ühikud, näiteks: 1 mm, 1 dm, 1 km. Joonisel 7 on segmendi pikkus 17 mm. Seda mõõdetakse ühe rea segmendiga, mille pikkus on 1 mm, kasutades vaheseintega joonlauda. Samuti saate joonlauda kasutades etteantud pikkusega lõigu ehitada (joonistada) (vt joonis 7).

Üldiselt segmendi mõõtmine tähendab loendamist, kui palju üksusegmente see sobib.

Segmendi pikkusel on järgmine omadus.

Kui punkt C on märgitud segmendile AB, on segmendi AB pikkus võrdne segmentide AC ja CB pikkuste summaga(joonis 8).

Nad kirjutavad: AB = AC + CB.

Joonis 9 näitab kahte segmenti AB ja CD. Need segmendid kattuvad, kui need kattuvad.

Öeldakse, et kaks jooneosa on võrdsed, kui need kattuvad.

Seetõttu on segmendid AB ja CD võrdsed. Nad kirjutavad: AB = CD.

Võrdsed segmendid on võrdse pikkusega.

Kahest ebavõrdsest segmendist kaalume suurimat pikema pikkusega segmenti. Näiteks joonisel 6 on EF segment suurem kui MN segment.

Segmendi AB pikkust nimetatakse kaugus punktide A ja B vahel.

Kui korraldate mitu segmenti, nagu on näidatud joonisel 10, saate geomeetrilise kujundi, mida nimetatakse katkendlik joon... Pange tähele, et kõik joonisel 11 olevad segmendid ei moodusta hulkjoont. Lõigud loetakse katkendlikuks jooneks, kui esimese lõigu lõpp langeb kokku teise lõpuga ja teise lõigu teine ​​ots langeb kokku kolmanda lõpuga jne.

Punktid A, B, C, D, E - hulkjoonte tipud ABCDE, punktid A ja E - polüliin lõpeb, ja segmendid AB, BC, CD, DE on tema lingid(vt joonis 10).

Polüliini pikkus helistage kõigi selle linkide pikkuste summa.

Joonisel 12 on näidatud kaks katkendlikku joont, mille otsad langevad kokku. Selliseid katkendlikke jooni nimetatakse suletud.

Näide 1 ... Lõik BC on 3 cm väiksem kui segment AB, mis on 8 cm pikk (joonis 13). Leidke jooneosa AC pikkus.

Lahendus. Meil on: BC = 8 - 3 = 5 (cm).

Kasutades segmendi pikkuse omadust, saame kirjutada AC = AB + BC. Seega AC = 8 + 5 = 13 (cm).

Vastus: 13 cm.

Näide 2 ... On teada, et MK = 24 cm, NP = 32 cm, MP = 50 cm (joonis 14). Leidke reaosa NK pikkus.

Lahendus. Meil on: MN = MP - NP.

Seega MN = 50 - 32 = 18 (cm).

Meil on: NK = MK - MN.

Seega NK = 24 - 18 = 6 (cm).

Vastus: 6 cm.

Pikkus, nagu juba märgitud, on näidatud mooduli märgiga.

Kui tasapinna kaks punkti on antud, saab segmendi pikkuse valemiga arvutada

Kui on antud kaks ruumipunkti ja, saab segmendi pikkuse valemiga arvutada

Märge:Valemid jäävad õigeks, kui vastavad koordinaadid on ümber paigutatud: ja, kuid esimene valik on tavalisem.

Näide 3

Lahendus: vastavalt vastavale valemile:

Vastus:

Selguse huvides teen joonistuse

Jaotis - see ei ole vektor ja muidugi ei saa te seda kuhugi teisaldada. Lisaks, kui täidate joonise mõõtkavas: 1 ühik. = 1 cm (kaks sülearvuti lahtrid), siis saab saadud vastust kontrollida tavalise joonlaua abil, mõõtes otse segmendi pikkust.

Jah, lahendus on lühike, kuid on veel paar olulised punktid, mida tahaksin täpsustada:

Esiteks paneme vastusesse mõõtme: "ühikud". Seisund ei ütle, MIS see on, millimeetrites, sentimeetrites, meetrites või kilomeetrites. Seetõttu oleks matemaatiliselt õige lahendus üldine sõnastus: “ühikud” - lühend kui “ühik”.

Teiseks kordame koolimaterjali, mis on kasulik mitte ainult vaadeldava probleemi puhul:

pööra tähelepanu oluline tehnika – faktori juure alt välja võtmine... Arvutuste tulemusel saime tulemuse ja hea matemaatiline stiil hõlmab teguri väljavõtmist juure alt (võimaluse korral). Täpsemalt näeb protsess välja selline :. Loomulikult ei jää vastuse vormile jätmine veaks - see on kindlasti viga ja õpetaja poolt argumenteeritud nipet -näpet.

Muud levinud juhtumid on:

Sageli juurtes suur number, näiteks . Mida sellistel juhtudel teha? Kontrollige kalkulaatoril, kas see arv jagub 4 -ga. Jah, see jagunes täielikult, nii :. Või äkki saab numbri uuesti jagada 4 -ga? ... Seega:. Numbri viimane number on paaritu, seega pole ilmselgelt võimalik kolmandat korda 4 -ga jagada. Püüame jagada üheksaga :. Tulemusena:
Valmis.

Väljund: kui juure alla saadakse ekstraheeritav arv, siis proovime kordaja juure alt eemaldada - kalkulaatoril kontrollime, kas arv jagub: 4, 9, 16, 25, 36, 49 jne.

Erinevate probleemide lahendamise käigus puututakse sageli kokku juurtega, proovige alati juure alt faktoreid välja tõmmata, et vältida halvemat hinnet ja tarbetuid probleeme oma lahenduste täiustamisega vastavalt õpetaja märkusele.

Kordame ruutu ja muid volitusi korraga:

Kraadide üldise käsitlemise reeglid on leitavad kooli algebraõpikust, kuid arvan, et toodud näidete põhjal on kõik või peaaegu kõik juba selge.

Ülesanne iseseisva lahenduse jaoks, mille segment on ruumis:

Näide 4

Punkte ja antakse. Leidke joonelõigu pikkus.

Lahendus ja vastus tunni lõpus.

Segmendi järgi nimetatakse sirgjoone osaks, mis koosneb kõikidest selle joone punktidest, mis asuvad nende kahe punkti vahel - neid nimetatakse lõigu otsteks.

Vaatame esimest näidet. Olgu segment antud kahe punktiga koordinaattasandil. Sel juhul saame selle pikkuse leida Pythagorase teoreemi rakendades.

Niisiis, joonistage koordinaatsüsteemis segment, mille otsad on antud koordinaatidega(x1; y1) ja (x2; y2) ... Teljel X ja Y jätke risti segmendi otstest välja. Märkige punasega segmendid, mis on projektsioonid algsest segmendist koordinaatteljel. Pärast seda kanname projektsioonisegmentid paralleelselt segmentide otstega. Saame kolmnurga (ristkülikukujuline). Segmendist AB saab selle kolmnurga hüpotenuus ja ülekantud väljaulatuvad osad on selle jalad.

Arvutame nende projektsioonide pikkuse. Niisiis, teljel Y projektsiooni pikkus on y2-y1 ja teljel NS projektsiooni pikkus on x2-x1 ... Rakendame Pythagorase teoreemi: | AB | ² = (y2 - y1) ² + (x2 - x1) ² ... Sel juhul | AB | on joonelõigu pikkus.

Kui kasutate seda skeemi segmendi pikkuse arvutamiseks, ei saa te isegi segmenti ehitada. Nüüd arvutame, kui pikk on segment koordinaatidega (1;3) ja (2;5) ... Rakendades Pythagorase teoreemi, saame: | AB | ² = (2 - 1) ² + (5 - 3) ² = 1 + 4 = 5 ... See tähendab, et meie segmendi pikkus on 5:1/2 .

Kaaluge joone segmendi pikkuse leidmiseks järgmist viisi. Selleks peame teadma kahe punkti koordinaate mis tahes süsteemis. Kaaluge seda võimalust, kasutades kahemõõtmelist Descartes'i koordinaatsüsteemi.

Niisiis, kahemõõtmelises koordinaatsüsteemis on antud segmendi äärmiste punktide koordinaadid. Kui tõmmata nendest punktidest sirgjooned, peavad need olema koordinaatteljega risti, siis saame täisnurkse kolmnurga. Algne segment on saadud kolmnurga hüpotenuus. Kolmnurga jalad moodustavad segmente, nende pikkus on võrdne hüpotenuusa projektsiooniga koordinaatteljel. Pythagorase teoreemi põhjal järeldame: antud lõigu pikkuse leidmiseks peate leidma projektsioonide pikkused kahel koordinaatteljel.

Leidke projektsioonide pikkused (X ja Y) algsest segmendist koordinaattelgedele. Me arvutame need, leides punktide koordinaatide erinevuse piki eraldi telge: X = X2-X1, Y = Y2-Y1 .

Arvutage segmendi pikkus A , selleks leiame ruutjuure:

A = √ (X² + Y²) = √ ((X2-X1) ² + (Y2-Y1) ²) .

Kui meie segment asub punktide vahel, mille koordinaadid on 2;4 ja 4;1 , siis on selle pikkus vastavalt võrdne √ ((4-2) ² + (1-4) ²) = √13 ≈ 3,61 .

Geomeetrias, teoreetilises mehaanikas ja teistes füüsikaharudes kasutatakse kolme peamist koordinaatsüsteemi: Descartes, polaarne ja sfääriline. Nendes koordinaatsüsteemides on igal punktil kolm koordinaati. Teades kahe punkti koordinaate, saate määrata nende kahe punkti vahelise kauguse.

Sa vajad

• Segmendi otste sirgjoonelised, polaarsed ja sfäärilised koordinaadid

Juhised

Võtke lähtepunktiks ristkülikukujuline Descartes'i koordinaatsüsteem. Selles koordinaatsüsteemis määratakse kindlaks ruumi punkti asukoht koordinaadid x, y ja z. Raadiuse vektor tõmmatakse lähtepunktist punkti. Selle raadiuse vektori projektsioonid koordinaattelgedele on koordinaadid see punkt.
Oletame, et teil on nüüd kaks punkti koordinaadid x1, y1, z1 ja x2, y2 ja z2 vastavalt. Märgistage vastavalt r1 ja r2 esimese ja teise punkti raadiuse vektorid. Ilmselgelt on nende kahe punkti vaheline kaugus võrdne vektori r = r1-r2 mooduliga, kus (r1-r2) on vektorite erinevus.
Vektori r koordinaadid on ilmselt järgmised: x1-x2, y1-y2, z1-z2. Siis on vektori r moodul või kahe punkti vaheline kaugus järgmine: r = sqrt ((((x1-x2) ^ 2) + ((y1-y2) ^ 2) + ((z1-z2) ^ 2)) .

Mõtle nüüd polaarkoordinaatide süsteemile, milles punkti koordinaadi annab radiaalkoordinaat r (raadiuse vektor XY tasapinnal), nurgakoordinaat? (nurk vektori r ja X-telje vahel) ja z-koordinaat, mis sarnaneb Descartes-süsteemi z-koordinaadiga. Punkti polaarkoordinaate saab teisendada Descartes-koordinaatideks järgmiselt: x = r * cos ?, y = r * sin?, z = z. Seejärel kahe punkti vaheline kaugus koordinaadid r1 ,? 1, z1 ja r2 ,? 2, z2 on võrdne R = sqrt ((((r1 * cos? 1-r2 * cos? 2) ^ 2) + ((r1 * sin? 1-r2 * sin ? 2) ^ 2) + ((z1 -z2) ^ 2)) = sqrt ((r1 ^ 2) + (r2 ^ 2) -2r1 * r2 (cos? 1 * cos? 2 + sin? 1 * sin? 2) + ((z1-z2) ^ 2))

Nüüd kaaluge sfäärilist koordinaatsüsteemi. Selles on punkti asukoht seatud kolmega koordinaadid r ,? ja ?. r on kaugus lähtepunktist punktini ,? ja? - vastavalt asimuut ja seniit. Süstimine? on analoogne sama tähisega nurgaga polaarkoordinaatide süsteemis, ah? - nurk raadiuse vektori r ja Z -telje ning 0 koordinaadi r1 ,? 1 ,? 1 ja r2 ,? 2 ja? 2 vahel on võrdne R = sqrt ((((r1 * sin? 1 * cos? 1 -r2 * sin? 2 * cos? 2) ^ 2) + ((r1 * sin? 1 * sin? 1-r2 * sin? 2 * sin? 2) ^ 2) + ((r1 * cos? 1-r2 * cos? 2) ^ 2)) = ((((r1 * sin? 1) ^ 2) + ((r2 * sin? 2) ^ 2) -2r1 * r2 * sin? 1 * sin? 2 * (cos? 1 * cos? 2 + sin? 1 * sin? 2) + ((r1 * cos? 1-r2 * cos? 2) ^ 2))

Olgu segment antud kahe punktiga koordinaattasandil, siis saate selle pikkuse leida Pythagorase teoreemi abil.

Juhised

Olgu antud segmendi (x1-y1) ja (x2-y2) otste koordinaadid. Joonista joon koordinaatsüsteemi.

Langetage risti X ja Y telje joone segmendi otstest. Joonisel punasega tähistatud segmendid on algse segmendi projektsioonid koordinaattelgedel.

Kui teete projektsioonisegmentide paralleelse ülekande segmentide otstesse, saate täisnurkse kolmnurga. Selle kolmnurga jalad on ülekantavad projektsioonid ja hüpotenuus on segment AB ise.

Projektsiooni pikkusi on lihtne arvutada. Y projektsiooni pikkus on y2-y1 ja X projektsiooni pikkus x2-x1. Siis Pythagorase teoreemi järgi | AB | ²- = (y2- y1) ²- + (x2- x1) ²-, kus | AB | - segmendi pikkus.

Olles esitanud selle skeemi segmendi pikkuse leidmiseks üldjuhul, on segmendi pikkust lihtne arvutada ilma segmenti ehitamata. Arvutame segmendi pikkuse, mille otste koordinaadid on (1-3) ja (2-5). Siis | AB | ²- = (2- 1) ²- + (5- 3) ²- = 1 + 4 = 5, seega on nõutava segmendi pikkus 5 ^ 1/2.