Erinevate geomeetria, mehaanika, füüsika ja teiste teadmiste valdkondade probleemide lahendamisel tekkis vajadus kasutada sama analüütilist protsessi sellest funktsioonist y=f(x) hankige uus funktsioon nimega tuletisfunktsioon(või lihtsalt tuletis) antud funktsioonist f(x) ja on tähistatud sümboliga

Protsess, mille käigus antud funktsioonist f(x) hankige uus funktsioon f" (x), kutsus eristamist ja see koosneb järgmisest kolmest etapist: 1) esitage argument x juurdekasv  x ja määrake funktsiooni vastav juurdekasv  y = f(x+ x) -f(x);

2) luua suhe x 3) loendamine  x pidev ja
0, leiame f" (x), mida me tähistame x, justkui rõhutades, et tulemuseks olev funktsioon sõltub ainult väärtusest , mille juures jõuame piirini.: Definitsioon Tuletis y " =f " (x) antud funktsioon y=f(x) antud x jaoks
nimetatakse funktsiooni juurdekasvu ja argumendi juurdekasvu suhte piiriks eeldusel, et argumendi juurdekasv kipub olema null, kui see piir muidugi on olemas, s.t. lõplik.

Seega x, või Pange tähele, et kui mõne väärtuse jaoks, näiteks millal
x=a  x, suhtumine f(x) juures Pange tähele, et kui mõne väärtuse jaoks0 ei kipu lõplikule piirile, siis sel juhul öeldakse, et funktsioon Pange tähele, et kui mõne väärtuse jaoks juures Pange tähele, et kui mõne väärtuse jaoks.

(või punktis

) ei oma tuletist või ei ole punktis diferentseeritav

f(x)

2. Tuletise geomeetriline tähendus.

Vaatleme funktsiooni y = f (x) graafikut, mis on diferentseeruv punkti x 0 läheduses

Nüüd vähendame ∆х, st. ∆х→ 0. Sel juhul läheneb punkt B vastavalt graafikule punktile A ja sekant AB pöörleb. Sekandi AB piirasend punktis ∆x → 0 on sirge (a), mida nimetatakse funktsiooni y = f (x) graafiku puutujaks punktis A.

Kui läheme võrrandis tgβ =∆y/∆x piirini ∆x → 0, saame
ortg =f "(x 0), kuna
-Ox-telje positiivse suuna puutuja kaldenurk
, tuletise määratluse järgi. Kuid tg = k on puutuja nurkkoefitsient, mis tähendab, et k = tg = f "(x 0).

Seega on tuletise geomeetriline tähendus järgmine:

Funktsiooni tuletis punktis x 0 võrdne abstsissiga x punktis joonistatud funktsiooni graafiku puutuja kaldega 0 .

3. Tuletise füüsiline tähendus.

Mõelge punkti liikumisele piki sirgjoont. Olgu antud punkti koordinaat igal ajahetkel x(t). Teada on (füüsikakursusest), et keskmine kiirus teatud aja jooksul võrdub selle ajaperioodi jooksul läbitud vahemaa suhtega aega, s.o.

Vav = ∆x/∆t. Liigume viimase võrdsuse piirini ∆t → 0.

lim Vav (t) = (t 0) - hetkekiirus ajahetkel t 0, ∆t → 0.

ja lim = ∆x/∆t = x"(t 0) (tuletise määratluse järgi).

Niisiis, (t) =x"(t).

Tuletise füüsikaline tähendus on järgmine: funktsiooni tuletisy = f(x) punktisx 0 on funktsiooni muutumise kiirusf(x) punktisx 0

Tuletist kasutatakse füüsikas kiiruse leidmiseks teadaolevast koordinaatide ja aja funktsioonist, kiirenduse leidmiseks kiiruse ja aja teadaolevast funktsioonist.

(t) = x"(t) - kiirus,

a(f) = "(t) - kiirendus või

Kui ainelise punkti liikumise seadus ringis on teada, siis saab leida nurkkiiruse ja nurkkiirenduse pöörleva liikumise ajal:

φ = φ(t) – nurga muutus ajas,

ω = φ"(t) – nurkkiirus,

ε = φ"(t) – nurkiirendus või ε = φ"(t).

Kui on teada ebahomogeense varda massijaotuse seadus, siis saab leida ebahomogeense varda joontiheduse:

m = m(x) – mass,

x  , l - varda pikkus,

p = m"(x) - lineaarne tihedus.

Tuletise abil lahendatakse ülesandeid elastsuse ja harmooniliste vibratsioonide teooriast. Niisiis, vastavalt Hooke'i seadusele

F = -kx, x – muutuv koordinaat, k – vedru elastsuse koefitsient. Kui panna ω 2 =k/m, saame vedrupendli diferentsiaalvõrrandi x"(t) + ω 2 x(t) = 0,

kus ω = √k/√m võnkesagedus (l/c), k - vedru jäikus (H/m).

Võrrandit kujul y" + ω 2 y = 0 nimetatakse harmooniliste (mehaaniliste, elektriliste, elektromagnetiliste) võnkumiste võrrandiks. Selliste võrrandite lahendus on funktsioon

y = Asin(ωt + φ 0) või y = Acos(ωt + φ 0), kus

A - võnkumiste amplituud, ω - tsükliline sagedus,

φ 0 - algfaas.

Funktsiooni f (x) tuletis punktis x0 on punktis x0 oleva funktsiooni juurdekasvu ja argumendi Δx juurdekasvu suhte piir (kui see on olemas), kui argumendi juurdekasv kaldub null ja seda tähistatakse f '(x0). Funktsiooni tuletise leidmist nimetatakse diferentseerimiseks.
Funktsiooni tuletis on see füüsiline tähendus: funktsiooni tuletis antud punktis - funktsiooni muutumise kiirus antud punktis.

Tuletise geomeetriline tähendus. Tuletis punktis x0 on võrdne funktsiooni y=f(x) graafiku puutuja tõusuga selles punktis.

Tuletise füüsiline tähendus. Kui punkt liigub piki x-telge ja selle koordinaat muutub vastavalt seadusele x(t), siis punkti hetkkiirus on:

Diferentsiaali mõiste, selle omadused. Eristamise reeglid. Näited.

Definitsioon. Funktsiooni diferentsiaal teatud punktis x on funktsiooni inkremendi põhiline, lineaarne osa Funktsiooni y = f(x) diferentsiaal on võrdne selle tuletise ja sõltumatu muutuja x juurdekasvu korrutisega. (argument).

See on kirjutatud nii:

või

Või


Eristavad omadused
Diferentsiaalil on tuletisega sarnased omadused:





TO eristamise põhireeglid sisaldab:
1) konstantse teguri asetamine tuletise märgist väljapoole
2) summa tuletis, vahe tuletis
3) funktsioonide korrutise tuletis
4) kahe funktsiooni jagatise tuletis (murru tuletis)

Näited.
Tõestame valemit: Tuletise definitsiooni järgi on meil:

Suvalise teguri võib viia piirini läbimise märgist kaugemale (seda teatakse piiri omaduste järgi), mistõttu

Näiteks: Leia funktsiooni tuletis
Lahendus: Kasutame kordaja paigutamise reeglit tuletise märgist väljapoole :

Üsna sageli tuleb esmalt lihtsustada diferentseeruva funktsiooni vormi, et kasutada tuletiste tabelit ja tuletiste leidmise reegleid. Järgmised näited kinnitavad seda selgelt.

Diferentseerimisvalemid. Diferentsiaali rakendamine ligikaudsetes arvutustes. Näited.

Diferentsiaali kasutamine ligikaudsetes arvutustes võimaldab funktsiooni väärtuste ligikaudseks määramiseks kasutada diferentsiaali.
Näited.
Arvutage diferentsiaali abil ligikaudu
Selle väärtuse arvutamiseks rakendame teooria valemit
Tutvustame arvesse võetud funktsiooni ja esitame antud väärtuse kujul
siis arvutame

Asendades kõik valemisse, saame lõpuks
Vastus:

16. L'Hopitali reegel määramatuste avaldamiseks kujul 0/0 või ∞/∞. Näited.
Kahe lõpmatult väikese või kahe lõpmatult suure suuruse suhte piir on võrdne nende tuletiste suhte piiriga.

1)

17. Suurenev ja kahanev funktsioon. Funktsiooni äärmus. Algoritm funktsiooni uurimiseks monotoonsuse ja ekstreemsuse jaoks. Näited.

Funktsioon suureneb intervallil, kui selle intervalli mis tahes kahe punkti puhul, mis on ühendatud seosega , on ebavõrdsus tõene. see tähendab, kõrgem väärtus argument vastab funktsiooni suuremale väärtusele ja selle graafik läheb "alt üles". Demonstratsioonifunktsioon suureneb intervalli jooksul

Samamoodi funktsioon väheneb on intervall, kui iga kahe punkti antud intervalli nii, et , Ebavõrdsus on tõsi. See tähendab, et argumendi suurem väärtus vastab funktsiooni väiksemale väärtusele ja selle graafik läheb "ülevalt alla". Meie oma väheneb ajavahemike järel väheneb vaheaegadega .

Äärmused Punkti nimetatakse funktsiooni y=f(x) maksimumpunktiks, kui ebavõrdsus on tõene kõigi selle läheduses olevate x-ide puhul. Nimetatakse funktsiooni väärtus maksimumpunktis funktsiooni maksimum ja tähistada .
Punkti nimetatakse funktsiooni y=f(x) miinimumpunktiks, kui ebavõrdsus on tõene kõigi selle läheduses olevate x-ide puhul. Kutsutakse funktsiooni väärtust miinimumpunktis minimaalne funktsioon ja tähistada .
Punkti ümbrust mõistetakse intervallina , kus on piisavalt väike positiivne arv.
Miinimum- ja maksimumpunkte nimetatakse äärmuspunktideks ning äärmuspunktidele vastavaid funktsiooni väärtusi nimetatakse funktsiooni äärmus.

Funktsiooni uurimiseks monotoonsusele, kasutage järgmist skeemi:
- Leia funktsiooni määratluspiirkond;
- Leia funktsiooni tuletis ja tuletise definitsioonipiirkond;
- Leia tuletise nullid, s.o. argumendi väärtus, mille korral tuletis on võrdne nulliga;
- Märkige numbrilisele reale funktsiooni määratluspiirkonna ühisosa ja selle tuletise määratluspiirkond ning sellele - tuletise nullid;
- Määrake tuletise märgid igal saadud intervallil;
- Tehke tuletise märkide abil kindlaks, millistel intervallidel funktsioon suureneb ja millistel väheneb;
- Kirjutage semikooloniga eraldatuna sobivad intervallid.

Algoritm pideva funktsiooni y = f(x) uurimiseks monotoonsuse ja ekstreemsuse korral:
1) Leidke tuletis f ′(x).
2) Leia funktsiooni y = f(x) statsionaarsed (f ′(x) = 0) ja kriitilised (f ′(x) punktid.
3) Märgi arvjoonele statsionaarsed ja kriitilised punktid ning määra saadud intervallidel tuletise märgid.
4) Tee järeldused funktsiooni monotoonsuse ja selle äärmuspunktide kohta.

18. Funktsiooni kumerus. Pöördepunktid. Kumeruse (nõgususe) funktsiooni uurimise algoritm Näited.

allapoole kumer X-intervallil, kui selle graafik ei asu X-intervalli mis tahes punktis selle puutujast madalamal.

Diferentseeritavat funktsiooni nimetatakse kumer üles X-intervallil, kui selle graafik ei asu X-intervalli mis tahes punktis tema puutujast kõrgemal.

Punkti valemit nimetatakse graafiku pöördepunkt funktsioon y=f(x), kui antud punktis on funktsiooni graafiku puutuja (see võib olla paralleelne Oy teljega) ja on selline valemipunkti naabrus, mille sees vasakule ja paremale punkti M funktsiooni graafikul on erinevad kumerussuunad.

Kumeruse intervallide leidmine:

Kui funktsioonil y=f(x) on intervallil X lõplik tuletis ja kui ebavõrdsus kehtib (), siis on funktsiooni graafikul X-is alla (üles) suunatud kumerus.
See teoreem võimaldab teil leida funktsiooni nõgususe ja kumeruse intervallid, peate lahendama ainult ebavõrdsused ja vastavalt algfunktsiooni definitsioonipiirkonnale.

Näide: Leia intervallid, millel funktsiooni graafik Uuri välja intervallid, millel funktsiooni graafik on kumerus, mis on suunatud üles ja kumerus, mis on suunatud alla. on kumerus, mis on suunatud üles ja kumerus, mis on suunatud alla.
Lahendus: Selle funktsiooni määratluspiirkond on kogu reaalarvude komplekt.
Leiame teise tuletise.

Teise tuletise definitsioonipiirkond ühtib algfunktsiooni definitsioonipiirkonnaga, seetõttu piisab nõgususe ja kumeruse intervallide väljaselgitamiseks lahendamisest ja vastavalt. Seetõttu on funktsioon intervallvalemis kumer allapoole ja intervallvalemis ülespoole kumer.

19) Funktsiooni asümptoodid. Näited.

Sirget nimetatakse vertikaalne asümptoot funktsiooni graafik, kui vähemalt üks piirväärtustest on võrdne või .

Kommenteeri. Sirge ei saa olla vertikaalne asümptoot, kui funktsioon on punktis pidev. Seetõttu tuleks funktsiooni katkestuspunktides otsida vertikaalseid asümptoote.

Sirget nimetatakse horisontaalne asümptoot funktsiooni graafik, kui vähemalt üks piirväärtustest või on võrdne .

Kommenteeri. Funktsiooni graafikul võib olla ainult parempoolne horisontaalne asümptoot või ainult vasakpoolne asümptoot.

Sirget nimetatakse kaldus asümptoot funktsiooni graafik, kui

NÄIDE:

Harjutus. Leia funktsiooni graafiku asümptoodid

Lahendus. Funktsiooni ulatus:

a) vertikaalsed asümptoodid: sirgjoon - vertikaalne asümptoot, kuna

b) horisontaalsed asümptoodid: funktsiooni piiri leiame lõpmatuses:

see tähendab, et horisontaalseid asümptoote pole.

c) kaldus asümptoodid:

Seega on kaldus asümptoot: .

Vastus. Vertikaalne asümptoot on sirge.

Kaldus asümptoot on sirge.

20) Funktsiooni uurimise ja graafiku joonistamise üldskeem. Näide.

a.
Leia funktsiooni ODZ ja katkestuspunktid.

b. Leia funktsiooni graafiku lõikepunktid koordinaattelgedega.

2. Viia läbi funktsiooni uuring kasutades esimest tuletist, st leida funktsiooni äärmuspunktid ning suurenemise ja kahanemise intervallid.

3. Uurige funktsiooni teist järku tuletise abil, st leidke funktsiooni graafiku käändepunktid ning selle kumeruse ja nõgususe intervallid.

4. Leia funktsioonigraafiku asümptoodid: a) vertikaalne, b) kaldu.

5. Koostage uurimistöö põhjal funktsiooni graafik.

Pange tähele, et enne graafiku koostamist on kasulik kindlaks teha, kas antud funktsioon on paaritu või paaritu.

Tuletage meelde, et funktsiooni kutsutakse isegi siis, kui argumendi märgi muutmine ei muuda funktsiooni väärtust: f(-x) = f(x) ja funktsiooni nimetatakse paarituks, kui f(-x) = -f(x).

Sel juhul piisab, kui uurida funktsiooni ja koostada selle graafik ODZ-i kuuluva argumendi positiivsete väärtuste jaoks. Argumendi negatiivsete väärtuste korral koostatakse graafik selle alusel, et paarisfunktsiooni korral on see telje suhtes sümmeetriline Oy, ja päritolu suhtes paaritu jaoks.

Näited. Uurige funktsioone ja koostage nende graafikud.

Funktsiooni domeen D(y)= (–∞; +∞). Murdepunkte pole.

Ristmik teljega Ox: x = 0,y= 0.

Funktsioon on paaritu, seetõttu saab seda uurida ainult intervallil )