Классические методы безусловной оптимизации

Введение

Как известно, классическая задача безусловной оптимизации имеет вид:

Существуют аналитические и численные методы решения этих задач.

Прежде всего вспомним аналитические методы решения задачи безусловной оптимизации.

Методы безусловной оптимизации занимают значительное место в курсе МО. Это обусловлено непосредственным применением их при решении ряда оптимизационных задач, а также при реализации методов решения значительной части задач условной оптимизации (задач МП).

1. Необходимые условия для точки локального минимума (максимума)

Пусть т. доставляет минимальные значения функции. Известно, что в этой точке приращение функции неотрицательно, т.е.

Найдем, используя разложения функции в окрестности т. в ряд Тейлора.

где, - сумма членов ряда порядок которых относительно приращений (двум) и выше.

Из (4) с очевидностью следует, что

Предположим, что, тогда

С учетом (6) имеем: . (7)

Предположим, что положительно, т.е. . Выберем при этом, тогда произведение, что противоречит (1).

Поэтому, действительно, очевиден.

Рассуждая аналогично относительно других переменных получаем необходимое условие для точек локального минимума функции многих переменных

Легко доказать, что для точки локального максимума необходимые условия будут точно такими же, как и для точки локального минимуму, т.е. условиями (8).

Понятно, что итогом доказательства будет неравенство вида: - условие неположительного приращения функции в окрестности локального максимума.

Полученные необходимые условия не дают ответ на вопрос: является ли стационарная точка точкой минимума или точкой максимума.

Ответ на этот вопрос можно получить, изучив достаточные условия. Эти условия предполагают исследование матрицы вторых производных целевой функции.

2. Достаточные условия для точки локального минимума (максимума)

Представим разложение функции в окрестности точки в ряд Тейлора с точностью до квадратичных по слагаемых.

Разложение (1) можно представить более кратко, используя понятие: "скалярное произведение векторов" и "векторно-матричное произведение".

Матрица двух производных от целевой функции по соответствующим переменным.

Приращение функции на основании (1") можно записать в виде:

Учитывая необходимые условия:

Подставим (3) в виде:

Квадратичная форма называется дифференциальной квадратичной формой (ДКФ).

Если ДКФ положительно определена, то и стационарная точка является точкой локального минимума.

Если же ДКФ и матрица, ее представляющая, отрицательно определены, то и стационарная точка является точкой локального максимума.

Итак, необходимое и достаточное условие для точки локального минимума имеют вид

(эти же необходимые условия можно записать так:

Достаточное условие.

Соответственно, необходимое и достаточное условие локального максимума имеет вид:

Вспомним критерий, позволяющий определить: является ли квадратичная форма и матрица, ее представляющая, положительно определенной, или отрицательно определенной.

3. Критерий Сильвестра

Позволяет ответить на вопрос: является ли квадратичная форма и матрица, ее представляющая, положительно определенной, или отрицательно определенной.

Называется матрицей Гессе.

Главный определитель матрицы Гессе

и ДКФ, которую оно представляет, будут положительно определенными, если все главные определители матрицы Гессе () положительны (т.е. имеет место следующая схема знаков:

Если же имеет место другая схема знаков для главных определителей матрицы Гессе, например, то матрица и ДКФ отрицательно определены.

4. Метод Эйлера - классический метод решения задач безусловной оптимизации

Этот метод основан на необходимых и достаточных условиях, изученных в 1.1 - 1.3; применим нахождению локальных экстремумов только непрерывных дифференцируемых функций.

Алгоритм этого метода достаточно прост:

1) используя необходимые условия формируем систему в общем случае нелинейных уравнений. Отметим, что решить аналитически эту систему в общем случае невозможно; следует применить численные методы решения систем нелинейных уравнений (НУ) (см. "ЧМ"). По этой причине метод Эйлера будет аналитически-численным методом. Решая указанную систему уравнений находим координаты стационарной точки.;

2) исследуем ДКФ и матрицу Гессе, которая ее представляет. С помощью критерия Сильвестра определяем, является ли стационарная точка точкой минимума или точкой максимума;

3) вычисляем значение целевой функции в экстремальной точке

Методом Эйлера решить следующую задачу безусловной оптимизации: найти 4 стационарные точки функции вида:

Выяснить характер этих точек, являются ли они точками минимума, или Седловыми (см. ). Построить графическое отображение этой функции в пространстве и на плоскости (с помощью линий уровня).

5. Классическая задача условной оптимизации и методы ее решения: Метод исключения и Метод множителей Лагранжа (ММЛ)

Как известно, классическая задача условной оптимизации имеет вид:

График, поясняющий постановку задачи (1), (2) в пространстве.

Уравнения линий уровня

Итак, ОДР в рассматриваемой задаче представляет собой некоторую кривую, представленную уравнением (2").

Как видно из рисунка, точка является точкой безусловного глобального максимума; точка - точкой условного (относительного) локального минимума; точка - точка условного (относительного) локального максимума.

Задачу (1"), (2") можно решить методом исключения (подстановки), решив уравнение (2") относительно переменной, и подставляя найденное решение (1").

Исходная задача (1"), (2") таким образом преобразована в задачу безусловной оптимизации функции, которую легко решить методом Эйлера.

Метод исключения (подстановки).

Пусть целевая функция зависит от переменных:

называются зависимыми переменными (или переменными состояния); соответственно можно ввести вектор

Оставшиеся переменных называются независимыми переменными решения.

Соответственно можно говорить о вектор-столбце:

и вектора.

В классической задаче условной оптимизации:

Система (2) в соответствии с методом исключения (подстановки) должна быть разрешена относительно зависимых переменных (переменных состояния), т.е. должны быть получены следующие выражения для зависимых переменных:

Всегда ли система уравнений (2) разрешима относительно зависимых переменных - не всегда, это возможно лишь в случае, когда определитель, называемый якобианом, элементы которого имеют вид:

не равен нулю (см. соответствующую теорему в курсе МА)

Как видно, функции, должны быть непрерывными дифференцируемыми функциями, во-вторых, элементы определителя должны быть вычислены в стационарной точке целевой функции.

Подставляем из (3) в целевую функцию (1), имеем:

Исследуемая функция на экстремум можно произвести методом Эйлера - методом безусловной оптимизации непрерывно дифференцируемой функции.

Итак, метод исключения (подстановки) позволяет использовать задачу классической условной оптимизации преобразовать в задачу безусловной оптимизации функции - функции переменных при условии (4), позволяющим получить систему выражений (3).

Недостаток метода исключения: трудности, а иногда и невозможность получения системы выражений (3). Свободный от этого недостатка, но требующий выполнения условия (4) является ММЛ.

5.2. Метод множителей Лагранжа. Необходимые условия в классической задаче условной оптимизации. Функция Лагранжа

ММЛ позволяет исходную задачу классической условной оптимизации:

Преобразовать в задачу безусловной оптимизации специально сконструированной функции - функции Лагранжа:

где, - множители Лагранжа;

Как видно, представляет собой сумму, состоящую из исходной целевой функции и "взвешенной" суммы функций, - функции, представляющие их ограничения (2) исходной задачи.

Пусть точка - точка безусловного экстремума функции, тогда, как известно, или (полный дифференциал функции в точке).

Используя концепция зависимых и независимых переменных - зависимые переменные; - независимые переменные, тогда представим (5) в развернутом виде:

Из (2) с очевидностью следует система уравнений вида:

Результат вычисления полного дифференциала для каждой из функций

Представим (6) в "развернутом" виде, используя концепцию зависимых и независимых переменных:

Заметим, что (6") в отличии от (5") представляет собой систему, состоящую из уравнений.

Умножим каждое -ое уравнение системы (6") на соответствующий -ый множитель Лагранжа. Сложим их между собой и с уравнением (5") и получим выражение:

Распорядимся множителями Лагранжа таким образом, чтобы выражение в квадратных скобках под знаком первой суммы (иными словами, коэффициенты при дифференциалах независимых переменных,) равнялось нулю.

Термин "распорядимся" множителями Лагранжа вышеуказанным образом означает, что необходимо решить некоторую систему из уравнений относительно.

Структуру такой системы уравнений легко получить приравняв выражение в квадратной скобке под знаком первой суммы нулю:

Перепишем (8) в виде

Система (8") представляет собой систему из линейных уравнений относительно известных: . Система разрешима, если (вот почему, как и в методе исключения в рассматриваемом случае должно выполняться условие). (9)

Поскольку в ключевом выражении (7) первая сумма равна нулю, то легко понять, что и вторая сумма будет равняться нулю, т.е. имеет место следующая система уравнений:

Система уравнений (8) состоит из уравнений, а система уравнений (10) состоит из уравнений; всего уравнений в двух системах, а неизвестных

Недостающие уравнений дает система уравнений ограничений (2):

Итак, имеется система из уравнений для нахождения неизвестных:

Полученный результат - система уравнений (11) составляет основное содержание ММЛ.

Легко понять, что систему уравнений (11) можно получить очень просто, вводя в рассмотрение специально сконструированную функцию Лагранжа (3).

Действительно

Итак, система уравнений (11) представима в виде (используя (12), (13)):

Система уравнений (14) представляет необходимое условие в классической задаче условной оптимизации.

Найденное в результате решение этой системы значение вектора называется условно-стационарной точкой.

Для того, чтобы выяснить характер условно-стационарной точки необходимо воспользоваться достаточными условиями.

5.3 Достаточные условия в классической задаче условной оптимизации. Алгоритм ММЛ

Эти условия позволяют выяснить, является ли условно-стационарная точка точкой локального условного минимума, или точкой локального условного максимума.

Относительно просто, подобно тому, как были получены достаточные условия в задаче на безусловный экстремум. Можно получить достаточные условия и в задаче классической условной оптимизации.

Результат этого исследования:

где - точка локального условного минимума.

где - точка локального условного максимума, - матрица Гессе с элементами

Матрица Гессе имеет размерность.

Размерность матрицы Гессе можно уменьшить, используя условие неравенства нулю якобиана: . При этом условии можно зависимые переменные выразить через независимые переменные, тогда матрица Гессе будет иметь размерность, т.е. необходимо говорить о матрице с элементами

тогда достаточные условия будут иметь вид:

Точка локального условного минимума.

Точка локального условного максимума.

Доказательство: Алгоритм ММЛ:

1) составляем функцию Лагранжа: ;

2) используя необходимые условия, формируем систему уравнений:

3) из решения этой системы находим точку;

4) используя достаточные условия, определяем, является ли точка точкой локального условного минимума или максимума, затем находим

1.5.4. Графо-аналитический метод решения классической задачи условной оптимизации в пространстве и его модификации при решении простейших задач ИП и АП

Этот метод использует геометрическую интерпретацию классической задачи условной оптимизации и основан на ряде важных фактов, присущих этой задаче.

В - общая касательная для функции и функции, представляющей ОДР.

Как видно из рисунка точка - точка безусловного минимума, точка точка условного локального минимума, точка - точка условного локального максимума.

Докажем, что в точках условных локальных экстремумов кривая и соответствующие линии уровня

Из курса МА известно, что в точке касания выполняется условие

где - угловой коэффициент касательной, проведенной соответствующей линией уровня; - угловой коэффициент касательной, проведенной к функции

Известно выражение (МА) для этих коэффициентов:

Докажем, что эти коэффициенты равны.

потому что об этом "говорят" необходимые условия

Вышесказанное позволяет сформулировать алгоритм ГФА метода решения классической задачи условной оптимизации:

1) строим семейство линий уровня целевой функции:

2) строим ОДР, используя уравнение ограничения

3) с целью внесения исправления возрастания функции, находим и выясняем характер экстремальных точек;

4) исследуем взаимодействие линий уровня и функции, находя при этом из системы уравнений координаты условно стационарных точек - локальных условных минимумов и локальных условных максимумов.

5) вычисляем

Следует особо отметить, что основные этапы ГФА метода решения классической задачи условной оптимизации совпадают с основными этапами ГФА метода решения задач НП и ЛП, отличие лишь в ОДР, а также в нахождении местоположения экстремальных точек в ОДР (например, в задачах ЛП эти точки обязательно находятся в вершинах выпуклого многоугольника, представляющего ОДР).

5.5. О практическом смысле ММЛ

Представим классическую задачу условной оптимизации в виде:

где - переменные величины, представляющие в прикладных технических и экономических задачах переменные ресурсы.

В пространстве задача (1), (2) принимает вид:

где - переменная величина. (2")

Пусть - точка условного экстремума:

При изменении изменяется

Соответственно изменится и значение целевой функции:

Вычислим производную:

Из (3), (4), (5). (6)

Подставим (5") в (3) и получаем:

Из (6), что множитель Лагранжа характеризует "реакцию" значение (ортогональна значению целевой функции) на изменения параметра.

В общем случае (6) принимает вид:

Из (6), (7), что множитель, характеризует изменение при изменении соответствующего -того ресурса на 1.

Если - максимальная прибыль или минимальная стоимость, то, характеризует изменения этой величины при изменении, на 1.

5.6. Классическая задача условной оптимизации, как задача о нахождении седловой точки функции Лагранжа:

Пара называется седловой точкой, если выполняется неравенство.

Очевидно, что из (1). (2)

Из (2), что. (3)

Как видно система (3) содержит уравнений, подобных тем уравнениям, которые представляют необходимое условие в классической задаче условной оптимизации:

где - функция Лагранжа.

В связи с аналогией систем уравнений (3) и (4), классическую задачу условной оптимизации можно рассматривать как задачу о нахождении седловой точки функции Лагранжа.

Подобные документы

Задачи многомерной оптимизации в исследовании технологических процессов производств текстильной промышленности, анализ возникающих трудностей. Нахождение экстремума, типа экстремума, значения целевой функции безусловной многомерной оптимизации.

контрольная работа , добавлен 26.11.2011


Характеристика классических методов безусловной оптимизации. Определение необходимого и достаточного условия существования экстремума функций одной и нескольких переменных. Правило множителей Лагранжа. Необходимые и достаточные условия оптимальности.

курсовая работа , добавлен 13.10.2013


Методика и особенности решения задач оптимизации, в частности о распределении инвестиций и выборе пути в транспортной сети. Специфика моделирования с помощью методов Хэмминга и Брауна. Идентификация, стимулирование и мотивация как функции управления.

контрольная работа , добавлен 12.12.2009


Постановка, анализ, графическое решение задач линейной оптимизации, симплекс-метод, двойственность в линейной оптимизации. Постановка транспортной задачи, свойства и нахождение опорного решения. Условная оптимизация при ограничениях–равенствах.

методичка , добавлен 11.07.2010


Критический путь в графе. Оптимальное распределение потока в транспортной сети. Задача линейного программирования, решаемая графическим методом. Несбалансированная транспортная задача. Численные методы решения одномерных задач статической оптимизации.

курсовая работа , добавлен 21.06.2014


Графический метод решения задачи оптимизации производственных процессов. Применение симплекс-алгоритма для решения экономической оптимизированной задачи управления производством. Метод динамического программирования для выбора оптимального профиля пути.

контрольная работа , добавлен 15.10.2010


Оптимизационные методы решения экономических задач. Классическая постановка задачи оптимизации. Оптимизация функций. Оптимизация функционалов. Многокритериальная оптимизация. Методы сведения многокритериальной задачи к однокритериальной. Метод уступок.

реферат , добавлен 20.06.2005


Применение методов нелинейного программирования для решения задач с нелинейными функциями переменных. Условия оптимальности (теорема Куна-Таккера). Методы условной оптимизации (метод Вульфа); проектирования градиента; штрафных и барьерных функций.

реферат , добавлен 25.10.2009


Понятие, определение, выделение особенностей, возможностей и характеристика существующих проблем многокритериальной оптимизации и пути их решения. Расчет метода равных и наименьших отклонений многокритериальной оптимизации и применение его на практике.

курсовая работа , добавлен 21.01.2012


Основные понятия моделирования. Общие понятия и определение модели. Постановка задач оптимизации. Методы линейного программирования. Общая и типовая задача в линейном программировании. Симплекс-метод решения задач линейного программирования.

Оптимизация - процесс нахождения экстремума (глобального максимума или минимума) определённой функции или выбора наилучшего (оптимального) варианта из множества возможных. Наиболее надёжным способом нахождения наилучшего варианта является сравнительная оценка всех возможных вариантов (альтернатив). Если число альтернатив велико, при поиске наилучшей обычно используют методы математического программирования. Применить эти методы можно, если есть строгая постановка задачи: задан набор переменных, установлена область их возможного изменения (заданы ограничения) и определён вид целевой функции (функции, экстремум которой нужно найти) от этих переменных. Последняя представляет собой количественную меру (критерий) оценки степени достижения поставленной цели.

Задача безусловной оптимизации состоит в нахождении минимума или максимума функции в отсутствие каких-либо ограничений. Несмотря на то что большинство практических задач оптимизации содержит ограничения, изучение методов безусловной оптимизации важно с нескольких точек зрения. Многие алгоритмы решения задачи с ограничениями предполагают сведение ее к последовательности задач безусловной оптимизации. Другой класс методов основан на поиске подходящего направления и последующей минимизации вдоль этого направления. Обоснование методов безусловной оптимизации может быть естественным образом распространено на обоснование процедур решения задач с ограничениями.

Задача условной оптимизации заключается в поиске минимального или максимального значения скалярной функции f(x) n-мерного векторного аргументах. Решение задачи основывается на линейной или квадратичной аппроксимации целевой функции для определения приращений x1, …,xn на каждой итерации. Существуют также приближенные методы решения нелинейных задач. Это методы основанные на методе кусочно-линейной аппроксимации. Точность нахождения решений зависит от количества интервалов, на которых мы находим решение линейной задачи, максимально приближенной к нелинейной. Такой метод позволяет производить расчеты с помощью симплекс-метода. Обычно в линейных моделях коэффициенты целевой функции постоянны и не зависят от значения переменных. Однако существует ряд задач, где затраты зависят от объема нелинейно.

Алгоритм решения:

• 1. Работа начинается с построения регулярного симплекса в пространстве независимых переменных и оценивая значения целевой функции в каждой из вершин симплекса.
• 2. Определяется вершина - наибольшее значение функции.
• 3. Вершина проецируется через центр тяжести остальных вершин в новую точку, которая используется в качестве вершины нового симплекса.
• 4. Если функция убывает достаточно плавно, итерации продолжаются до тех пор, пока либо не будет накрыта точка min, либо не начнется циклическое движение по 2 или более симплексам.
• 5. Поиск завершается, когда или размеры симплекса, или разности между значениями функции в вершинах останутся достаточно малыми.

Задача: оптимизация емкостей. Добиться минимальных затрат на изготовление емкости объёмом 2750 литров для хранения песка.

Z = C1X1 + C2X2 + C3X3 + C4X4 + C5X5 min;

где: X1 - количество необходимого металла, кг;

C1 - стоимость металла, руб/кг;

X2 - масса требующихся электродов, кг;

C2 - стоимость электродов, руб/кг;

X3 - количество затраченной электроэнергии, кВт ч;

C3 - стоимость электроэнергии, руб/кВт ч;

X4 - время работы сварщика, ч;

C4 - тарифная ставка сварщика, руб/ч;

X5 - время работы подъемника, ч;

C5 - оплата подъемника, руб/ч.

1. Найдем оптимальную поверхностную площадь емкости:

F = 2ab+2bh+2ah min (1)

где V=2750 литров.

x1=16,331; x2=10,99

Минимум функции получен в процессе оптимизации по методу Бокса- 1196,065 дм2

В соответствие с ГОСТ 19903 - 74, примем:

h=16,50 дм, b=10,00 дм.

Выразим a из (1) и получим:

Рассчитаем оптимальную толщину листа металла

Выберем углеродистую обыкновенную сталь Ст2сп

Для этой стали 320 МПа, ;

Масса песка.

Нагрузка на стенку емкости наибольшей площади:

Высчитаем нагрузку на 1 погонный сантиметр листа шириной 100 см:

Определим толщину стенки, исходя из условия:

где: l - длина листа (желательно наибольшая, чтобы оставить дополнительный запас прочности);

q - нагрузка на 1 погонный сантиметр, кг/см;

Толщина листа металла, м

Максимально допустимое напряжение металла, Н/мм2.

Выразим из (2) толщину стенки:

Учитывая, что 320 МПа = 3263 кг/см2,

Масса металла

где: F - площадь поверхности емкости, м2 ;

Толщина стенки металла, м;

Плотность металла, кг/м3.

Цена на сталь Ст2сп составляет около 38 руб/кг.

2. Длина сварного шва:

Воспользуемся электродами для нержавеющей стали «УОНИ-13/45»

Цена 88,66 руб/кг;

где: Sшва - поперечная площадь сечения сварного шва, м2;

l - длина сварного шва, м;

Плотность наплавленного металла, кг/м3.

3. Время сварки:

где l - длина сварного шва, м;

v - скорость сварки, м/ч.

Суммарная потребляемая мощность:

Рсум = 5 17 = 85 кВт ч;

Стоимость электроэнергии 5,7 руб/ кВт ч.

4. Для ручной дуговой сварки затраты вспомогательного, подготовительно-заключительного времени и времени на обслуживание рабочего места составляют в среднем 40 - 60%. Воспользуемся средним значением в 50%.

Общее время:

Оплата сварщика VI разряда - 270 руб/час.

Плюс тарифный коэффициент 17% за работу в замкнутом плохо проветриваемом пространстве:

Оплата помощника составит 60% от оплаты сварщика:

8055 0,6 = 4833 руб.

Итого: 8055+4833 = 12888 рублей.

5. Кран понадобиться для того, чтобы держать листы металла во время сварки, погрузки и выгрузки листов металла и непосредственно готовой емкости.

Чтобы «прихватить» всю конструкцию, сварщику необходимо наложить около 30% швов.

Оплата крана - 1000 руб/час.

Общая стоимость емкости.

Задача 1. Найти

Задача 1 сводится к решению системы уравнений:

и исследованию значения второго дифференциала:

в точках решения уравнений (8.3).

Если квадратичная форма (8.4) отрицательно определена в точке, то она достигает в ней максимальное значение, а если положительно определена, то минимальное значение.

Пример:

Система уравнений имеет решения:

Точка (– 1/3,0) является точкой максимума, а точка (1/3,2) –точкой минимума.

Задача 2. Найти

при условиях:

Задача 2 решается методом множителей Лагранжа. Для этого находится решение системы (т + п) уравнений:

Пример. Найти стороны прямоугольника максимальной площади, вписанного в круг: . Площадь А прямоугольника можно записать в виде: А =4ху, тогда

Задача 3. Найти:

при условиях:

Эта задача охватывает широкий круг задач, определяемых функциями f и  .

Если они линейны, то задача является задачей линейного программирования.

Задача 3 а.

при условиях

Она решается симплекс-методом , который с помощью аппарата линейной алгебры производит целенаправленный перебор вершин многогранника, определяемого (8.13).

Симплекс-метод (состоит из двух этапов):

Этап 1. Нахождение опорного решения х (0) .

Опорное решение – одна из точек многогранника (8.13).

Этап 2. Нахождение оптимального решения.

Оптимальное решение находится последовательным перебором вершин многогранника (8.13), при котором значение целевой функции z на каждом шаге не уменьшается, то есть:

Частный случай задачи линейного программирования – так называемая транспортная задача .

Транспортная задача. Пусть в пунктах находятся склады, в которых хранятся товары в количествесоответственно. В пунктахнаходятся потребители, которым необходимо поставить эти товары в количествахсоответственно. Обозначимc ij стоимость перевозки единицы груза между пунктами

Исследуем операцию перевозки потребителями товаров в количествах, достаточных, чтобы удовлетворить потребности потребителей. Обозначим через количество товара, перевозимого из пунктаа i в пункт b j .

Для того, чтобы удовлетворять запросы потребителя, необходимо, чтобы величины х ij удовлетворяли условиям:

В то же время со склада а; нельзя вывезти продуктов в большем количестве, чем там имеется. Это означает, что искомые величины должны удовлетворять системе неравенств:

Удовлетворять условиям (8.14), (8.15), то есть составить план перевозок, обеспечивающий запросы потребителей, можно бесчисленным числом способов. Для того, чтобы исследователь операций мог выбрать определенное решение, то есть назначить определенные х ij , должно быть сформулировано некоторое правило отбора, определяемое с помощью критерия, который отражает наше субъективное представление о цели.

Проблема критерия решается независимо от исследования операции – критерий должен быть задан оперирующей стороной. В данной задаче одним из возможных критериев будет стоимость перевозки. Она определяется следующим образом:

Тогда задача о перевозках формулируется как задача линейного программирования: определить величины , удовлетворяющие ограничениям (8.14), (8.15) и доставляющие функции (8.16) минимальное значение. Ограничение (8.15) – это условие баланса; условие (8.14) можно назвать целью операции, ибо смысл операции в том и состоит, чтобы обеспечить запросы потребителей.

Эти два условия составляют, по существу, модель операции. Реализация операции будет зависеть от критерия, при помощи которого будет обеспечено достижение цели операции. Критерий может фигурировать в различных ролях. Он может выступать и как способ формализации цели и как принцип выбора действий из числа допустимых, то есть удовлетворяющих ограничениям.

Одним из известных методов решения транспортной задачи является метод потенциалов .

На первом этапе решения задачи составляется первоначальный план перевозок, удовлетворяющий

ограничениям (8.14), (8.15). Если (то есть суммарные потребности не совпадают с суммарными запасами продуктов на складах), то вводится в рассмотрение фиктивный пункт потребления или фиктивный складсо стоимостью перевозок, равными нулю. Для новой задачи суммарное количество товаров на складах совпадает с суммарной их потребностью. Затем каким-нибудь методом (например, наименьшего элемента или северо-западного угла) находится первоначальный план. На следующем шаге процедуры полученного плана строится система специальных характеристик – потенциалов. Необходимым и достаточным условием оптимального плана является его потенциальность. Процедура уточнения плана производится до тех пор, пока он не станет потенциальным (оптимальным).

Задача 3б. В общем случае задача (8.10 – 8.11) называется задачей нелинейного программирования. Рассмотрим ее в более принятом виде:

при условиях

Для решения этой задачи используются так называемые релаксационные методы. Процесс построения последовательности точек называется релаксационным, если:

Методы спуска (общая схема) . Все методы спуска решения задачи безусловной оптимизации (8.17) различаются либо выбором направления спуска, либо способом движения вдоль направления спуска. Методы спуска состоят в следующей процедуре построения последовательности { x k }.

В качестве начального приближения выбирается произвольная точка x 0 . Последовательные приближения строятся по следующей схеме:

Точке x k выбирается направление спуска – s k ;

Находят (к + 1) – е приближение по формуле:

где в качестве величины выбирают любое число, удовлетворяющее неравенству

где число – любое такое число, когда

В большинстве методов спуска величина  к выбирается равной единице. Таким образом, для определения  к приходится решать задачу одномерной минимизации.

Метод градиентного спуска. Поскольку антиградиент – указывает направление наискорейшего убывания функцииf (x ), то естественным является перемещение из точки х k по этому направлению. Метод спуска, в котором называется методом градиентного спуска. Если, то релаксационный процесс называется методом скорейшего спуска.

Метод сопряженных направлений. В линейной алгебре этот метод известен как метод сопряженных градиентов решения систем линейных алгебраических уравнений АХ= b , а следовательно, как метод минимизации квадратичной функции

Схема метода:

Если = 0, то эта схема превращается в схему метода скорейшего спуска. Соответствующий выбор величиныt k гарантирует сходимость метода сопряженных направлений со скоростью того же порядка, что и в методах градиентного спуска и обеспечивает конечность числа итераций в квадратичном спуске (например ).

Покоординатный спуск. На каждой итерации в качестве направления спуска – s k выбирается направление вдоль одной из координатных осей. Метод имеет скорость сходимости процесса минимизации порядка 0(1/m). Причем она существенно зависит от размерности пространства.

Схема метода:

где координатный вектор

Если в точке x k имеется информация о поведении градиента функции f (x ), например:

то в качестве направления спуска s k можно взять координатный вектор е j . В этом случае скорость сходимости метода в n раз меньше, чем при градиентном спуске.

На начальном этапе процесса минимизации можно использовать метод циклического покоординатного спуска, когда сначала спуск осуществляется по направлению е 1 , затем по е 2 и т. д. вплоть до е п , после чего весь цикл повторяется снова. Более перспективным по сравнению с предыдущим является покоординатный спуск, в котором направления спуска выбираются случайным образом. При таком подходе к выбору направления существуют априорные оценки, гарантирующие для функции f (x ) с вероятностью, стремящейся к единице при , сходимость процесса со скоростью порядка 0(1/m).

Схема метода:

На каждом шаге процесса из n чисел {1, 2, ..., n} случайным образом выбирается номер j (k ) и в качестве s k выбирается единичный координатный вектор е j ( k ) , после чего осуществляется спуск:

Метод случайного спуска. s k , подчиняющаяся на этой сфере равномерному распределению, и затем по вычисленному на k-м шаге процесса элементу х к определяется :

Скорость сходимости метода случайного спуска в n раз ниже, чем у метода градиентного спуска, но в n раз выше, чем у метода случайного покоординатного спуска. Рассмотренные методы спуска применимы и к необязательно выпуклым функциям и гарантируют их сходимость при очень малых на них ограничениях (типа отсутствия локальных минимумов).

Релаксационные методы математического программирования. Вернемся к задаче 36 ((8.17) – (8.18)):

при условиях

В оптимизационных задачах с ограничениями выбор направления спуска сопряжен с необходимостью постоянной проверки того, что новое значение х k +1 должно также, как и предыдущее x k удовлетворять системе ограничений X .

Метод условного градиента. В этом методе идея выбора направления спуска состоит в следующем: в точке х к линеаризуют функцию f (x ), строя линейную функцию и затем, минимизируяf (x ) на множестве х, находят точку y k . После этого полагают и далее вдоль этого направления осуществляют спуск, так, чтобы

Таким образом, для отыскания направления – s k следует решить задачу минимизации линейной функции на множестве X . Если X в свою очередь задается линейными ограничениями, то она становится задачей линейного программирования.

Метод возможных направлений. Идея метода: среди всех возможных направлений в точке х к выбирают то, вдоль которого функция f (x ) убывает быстрее всего, и затем осуществляют спуск вдоль этого направления.

Направление – s в точке х  X называется возможным, если существует такое число , чтодля всех. Для нахождения возможного направления необходимо решить задачу линейного программирования, либо простейшую задачу квадратичного программирования:

При условиях:

Пусть – решение этой задачи. Условие (8.25) гарантирует, что направление –– возможное. Условие (8.26) обеспечивает максимальность величины (, то есть среди всех возможных направлений –s , направление –обеспечивает самое быстрое убывание функцииf (x ). Условие (8.27) избавляет от неограниченности решения задачи. Метод возможных направлений устойчив к возможным вычислительным ошибкам. Однако скорость его сходимости оценить в общем случае сложно и эта задача пока остается нерешенной.

Метод случайного поиска. Реализация изложенных выше методов минимизации в общем случае очень трудоемка, кроме простейших случаев, когда множество ограничений обладает простой геометрической структурой (например, является многомерным параллелепипедом). В общем случае весьма перспективным может быть метод случайного поиска, когда направление спуска выбирается случайным образом. При этом мы будем существенно проигрывать в скорости сходимости, однако простота выбора направления может компенсировать эти потери с точки зрения общих затрат труда на решение задачи минимизации.

Схема метода:

На n-мерной единичной сфере с центром в начале координат выбирается случайная точка r k , подчиняющаяся на этой сфере равномерному распределению, и затем направление спуска – s k из условий ,

В качестве начального приближения выбирается . По вычисленной на каждой итерации точкеx k строится (k + 1)-я точка x k +1 :

В качествевыбирается любое число из=, удовлетворяющее неравенству:

Доказана сходимость этого метода при весьма нежестких ограничениях на функцию f (выпуклость) и множество ограничений X (выпуклость и замкнутость).

из общей совокупности вариантов, можно построить гистограмму, оценить, насколько часто встречаются хорошие варианты, и, наконец, можно принять решение – продолжать поиск или ограничиться найденным решением.

Несмотря на универсальность и простоту процедуры случайного зондирования, ею нельзя ограничиваться ввиду значительной вычислительной трудоемкости. Поэтому большее распространение получили методы направленного поиска решения.

4.5.3. Методы безусловной оптимизации

Необходимые условия достижения экстремума во всех рассмотренных выше формах приводят к решению системы нелинейных уравнений – задаче весьма сложной и трудоемкой (даже в вычислительной математике чаще сводят решение нелинейных уравнений к некой задаче оптимизации). Поэтому на практике используют другие подходы к оптимизации функций, рассмотрение которых начнем с так называемых прямых методов. В дальнейшем здесь будем говорить о минимизации, поэтому экстремум – это минимум.

В настоящее время разработано множество численных методов для задач как безусловной, так и условной оптимизации. Качество численного метода характеризуется многими факторами: скоростью сходимости, временем выполнения одной итерации, объемом памяти ЭВМ, необходимым для реализации метода, классом решаемых задач и т. д. Решаемые задачи также весьма разнообразны: они могут иметь высокую и малую размерность, быть унимодальными и многоэкстремальными и т. д. Один и тот же метод, эффективный для решения задач одного типа, может оказаться совершенно неприемлемым для задач другого типа.

Ниже приводится обзор основных методов решения задач нелинейного программирования. Следует иметь в виду, что весь перечень таких методов весьма широк и остается открытым. Кроме того, для ряда рассматриваемых методов известны различные модификации. Более подробную информацию можно получить, на-

пример, в .

Начнем с рассмотрения прямых методов безусловной оптимизации, когда ограничения отсутствуют.

Смысл прямых методов безусловной оптимизации состоит в построении последовательности точек X , X , …, X , таких,

что f (X )>f (X )>… …>f (X ). В качестве начальной точки X может быть выбрана произвольная точка, однако стремятся ее выбрать как можно ближе к точке минимума. Переход (итерация) от точки Х к точке Х , k =0,1,2,... состоит из двух этапов:

– выбор направления движения из точки Х ;

– определение шага вдоль этого направления.

Методы построения таких последовательностей часто называют методами спуска, так как осуществляется переход от бо́льших значений функции к меньшим.

Математически методы спуска описываются соотношением

X =X +a k p , k =0,1,2,...,

где p – единичный вектор, определяющий направление спуска;

a k – длина шага.

Различные методы спуска отличаются друг от друга способами выбора p и a k . На практике применяются только методы, обладающие сходимостью. Они позволяют за конечное число шагов получить точку минимума или подойти к ней достаточно близко. Качество сходящихся итерационных методов оценивают по скорости сходимости.

Теоретически в методах спуска задача решается за бесконечное число итераций. На практике вычисления прекращают при выполнении некоторых критериев (условий) останова итерационного процесса. Например, это может быть условие малости прира-

f (X [ k ]) − f (X [ k − 1]) < γ . Здесь k – номер итерации; ε , γ – задан-

ные величины точности решения задачи.

Методы поиска точки минимума называются детерминированными, если оба параметра перехода от X к X (направление движения и величина шага) выбираются однозначно по доступной в точке X информации. Если же при переходе используется какой-либо случайный механизм, то алгоритм поиска называется случайным поиском минимума.

Детерминированные алгоритмы безусловной минимизации делят на классы в зависимости от вида используемой информации. Если на каждой итерации применяют лишь значения минимизируемых функций, то метод называется методом нулевого порядка. Если, кроме того, требуется вычисление первых производных минимизируемой функции, то имеют место методы первого порядка,

при необходимости дополнительного вычисления вторых производных – методы второго порядка.

Следует отметить, что при решении задач безусловной минимизации методы первого и второго порядков обладают, как правило, более высокой скоростью сходимости, чем методы нулевого порядка. Однако на практике вычисление первых и вторых производных функции большого количества переменных весьма трудоемко. В ряде случаев они не могут быть получены в виде аналитических функций. Производные различными численными методами определяют с ошибками, которые могут ограничить применение таких методов. Кроме того, критерий оптимальности может быть задан не в явном виде, а системой уравнений. В этом случае аналитически или численно найти производные становится очень сложно, а иногда невозможно. Поэтому наиболее подробно здесь рассматриваются методы нулевого порядка.

Методы одномерного поиска. Перечень методов одномерного поиска – численного поиска экстремума функции одного аргумента f(x) – достаточно широк и хорошо освещен в литературе . Поэтому здесь ограничимся рассмотрением только одного метода, который, по опыту авторов, является одним из наиболее эффективных, – метода «золотого сечения».

Идея метода состоит в последовательном сокращении интервала неопределенности – интервала значений аргумента x , содержащего искомую точку минимума, – до длины, не превышающей

допустимой погрешности результата ε . В качестве исходного интервала может рассматриваться заданная условиями задачи допустимая область значений аргумента или, в случае, когда последняя не имеет левой и (или) правой границ, некоторая область внутри допустимой, на принадлежность к которой искомого минимума указывает предварительный анализ.

Внутри любого интервала содержатся две точки x =y 0 и x =z 0 , выполняющие его «золотое сечение» – разбиение на две неравные части такие, что отношение большей части к длине всего интервала совпадает с отношением меньшей части к большей. Очевидно, эти точки расположены симметрично относительно центра интервала (рис. 26). Координаты точек «золотого сечения» могут быть найдены из соответствующих пропорций:

откуда нетрудно получить δ =(1–δ )/δ и прийти к уравнению: δ 2 +δ –1=0. В результате получим относительные доли, определяющие «золотое сечение» интервала: δ =0,618, 1–δ =0,382. «Золотое сечение» обладает важным свойством: точка y 0 является одной из точек «золотого сечения» интервала , точка z 0 – одной из точек «золотого сечения» интервала . В этом убе-

ждает простой расчет: 0,382/0,618 = 0,618 и (0,618–0,382)/0,618 = = 0,382.

Алгоритм поиска минимума, построенный на основе метода «золотого сечения», предусматривает на каждой итерации выбор в качестве одной из границ сокращенного интервала левой или правой точки «золотого сечения» таким образом, чтобы искомый минимум сохранялся внутри него:

1. Задают k =0, исходный интервал неопределенности , допустимую погрешность результата ε .

2. Вычисляют координаты точек «золотого сечения»:

y k =a k +0,382(b k –a k ), z k =a k +0,618(b k –a k ).

3. Вычисляют значения целевой функции в найденных точках

f (y k ) и f (z k ).

4. Если f (y k )≤f (z k ) (рис. 26, а ), присваивают a k + 1 =a k , b k + 1 =z k , z k + 1 =y k , y k + 1 =a k +z k –y k , k =k +1. В противном случае (рис. 26, б ) a k + 1 =y k , b k + 1 =b k , y k + 1 =z k , z k + 1 =y k +b k –z k , k =k +1.

5. Проверяют выполнение условия завершения поиска

b k + 1 − a k + 1 ≤ ε . В случае его выполнения в качестве решения выбирают точку x = (y k + 1 + z k + 1 ) 2 . В противном случае переходят к шагу 2.

Вычислительная эффективность метода «золотого сечения» обусловлена тем, что здесь на каждой итерации требуется только однократное вычисление значения целевой функции.

Метод прямого поиска (метод Хука-Дживса). Задаются неко-

торой начальной точкой Х . Поочередно изменяя компоненты вектора Х , обследуют окрестность данной точки, в результате чего находят точку (новый базис), определяющую направление, в котором происходит уменьшение минимизируемой функции f (Х ). В выбранном направлении осуществляют спуск, убеждаясь, что значение функции уменьшается. Процедура циклически повторяется, пока удается находить направление спуска с учетом принятого условия останова.

Алгоритм метода прямого поиска в самом общем виде можно сформулировать следующим образом:

1. Задаются значениями координат х i , i= 1,2,…n , начальной точки (k =0), вектором начальных приращений координат

∆ X = (∆ х 1 , ∆ х 2 ,…, ∆ х n ) в процессе обследования окрестности, наименьшим допустимым значением ε компонент ∆ X , ускоряющим множителем λ ≥ 1, определяющим скорость спуска, масштабным коэффициентом d >1.

2. Принимают Х за «старый базис» : X б =Х . Вычисляют

значение f (X б ).

3. Поочередно изменяют каждую координату х б i , i= 1,2,…n ,

точки X б на величину ∆ х i , то есть принимают х i =х б i + ∆ х i , затем

х i =х б i –∆ х i . Вычисляют значения f (X ) в получаемых пробных точках и сравнивают их со значением f (X б ). Если f (X )< < f (X б ), то соответствующая координата х i приобретает новое значение, вычисленное по одному из приведенных выражений. В противном случае значение этой координаты остается неизменным. Если после изменения последней n -й координаты f (X )

4. Осуществляют спуск в направлении от «старого» к «новому» базису через последний, т. е. вычисляют координаты новой точки

X : х i =х i +λ (х i –х бi ), i= 1,2,…n . Вычисляют значение f (X ). Если выполняется условие f (X )

«новый» базис принимают «старым» (X б =Х , f (X б )=f (X )) и переходят к п. 5. В противном случае принимают х i =х i , i= 1,2,…n .

5. Как и в п. 3, поочередно изменяют каждую координату точки X , сравнивая соответствующие значения функции f (Х ) со значением f (X ), полученным в п. 4. После изменения последней координаты сравнивают соответствующее значение

функции f (X ) со значением f (X б ), полученным в п. 4. Если f (X )

6. Если для всех i ∆ х i <ε , вычисления прекращаются. В противном случае уменьшают значения ∆ х i в d раз и переходят к п. 3.

Работа алгоритма проиллюстрирована рис. 27. Показаны линии

уровня минимизируемой функции f (x 1 ,x 2 ), т. е. линии, получаемые из условий f (x 1 ,x 2 )=f 1 =const, f (x 1 ,x 2 )=f 2 =const и так далее. Здесь f 1 >f 2 >f 3 . Сплошные линии – результаты однократного выполнения пп. 3...5 (поиск направления уменьшения функции и спуск), пунктирная линия – следующий спуск.

Достоинством метода прямого поиска является простота его программирования на компьютере. Он не требует знания целевой функции в явном виде, а также легко учитывает ограничения на отдельные переменные, а также сложные ограничения на область поиска.

Недостаток метода прямого поиска состоит в том, что в случае сильно вытянутых, изогнутых или обладающих острыми углами линий уровня целевой функции он может оказаться неспособным обеспечить продвижение к точке минимума в силу ограниченного числа анализируемых направлений.

Метод деформируемого многогранника (метод Нелдера- Мида) состоит в том, что для минимизации функции n переменных f(X) в n-мерном пространстве строится многогранник, содержащий n+1 вершину. Очевидно, что каждая вершина соответствует некоторому вектору Xi . Вычисляют значения целевой функции f(Xi ), i=1,2,…, n+1, в каждой из вершин многогранника, определяют максимальное из этих значений и соответствующую ему вершину Xh . Через эту вершину и центр тяжести остальных вершин проводят проецирующую прямую, на которой находится точка Xq с меньшим значением целевой функции, чем в вершине Xh (рис. 28, а). Затем исключают вершину Xh . Из оставшихся вершин и точки Xq строят новый многогранник, с которым повторяют описанную процедуру. В процессе выполнения таких операций многогранник изменяет свои размеры, что и обусловило название метода.

Введем следующие обозначения: X – вектор координат i -й вершины многогранника на k -м шаге поиска, i= 1,2,…n +1, k= 1,2,…; h – номер вершины, в которой значение целевой

шин, за исключением X . Координаты центра тяжести вычис-

Примерный алгоритм метода деформируемого многогранника состоит в следующем:

1. Задаются коэффициентами отражения α , растяжения γ >1, сжатия β<1 , допустимой погрешностью определения координат

точки минимума ε . Выбирают координаты вершин исходного многогранника X , i= 1,2,…n +1, k= 1.

2. Вычисляют значения целевой функции во всех вершинах f (X ), i= 1,2,…n +1, и находят точки X , X (на рис. 28, б точки соответственно X 2 и X 1 ), а также X .

3. Осуществляют проецирование точки X через центр тя-

жести: X =X +α (X –X ).

4. Если f (X )≤ X , выполняют операцию растяже-

ния: X =X +γ (X –X ). В противном случае переходят к п. 6.

5. Строят новый многогранник: если f (X )

заменой X на X , в противном случае – заменой X на X . Продолжают вычисления с п. 2 при k =k +1.

6. Если X >f (X )>X для всех i , не равных h ,

выполняют операцию сжатия: X =X +β (X – X ). Строят новый многогранник заменой X на X и продолжают вычисления с п. 2 при k =k +1.

7. Если f (X )>X , то, сохраняя вершину X , строят новый многогранник, подобный текущему, уменьшением длин всех ребер в два раза: X =X +0,5(X –X ) и продолжают вычисления с п. 2 при k =k +1.

В пп. 6, 7 перед переходом к п. 2 необходима проверка выполнения условия завершения поиска минимума, например, по усло-

вию max n ∑ + 1 (x j [ i ,k ] − x j [ n + 2,k ] ) 2 < ε 2 .

i j = 1

С помощью операции растяжения и сжатия размеры и форма деформируемого многогранника адаптируются к топографии целевой функции. В результате многогранник вытягивается вдоль длинных наклонных поверхностей, изменяет направление в изогнутых впадинах, сжимается в окрестности минимума, что определяет эффективность рассмотренного метода.

α =1, 2≤ γ ≤3, 0,4≤β ≤0,6.

Метод вращающихся координат (метод Розенброка). Его суть состоит в последовательных поворотах системы координат в соответствии с изменением направления наиболее быстрого убывания целевой функции (рис. 29). Из начальной точки X осуществляют спуск в точку X по направлениям, параллельным координатным осям. На следующей итерации одна из осей должна проходить в направлении x’1 = X– X, остальные – в направлениях, перпендикулярных к x’1 . Спуск вдоль этих осей пр и- водит в точку X, что дает возможность построить новый вектор x’’1 = X– X и на его базе новую систему направлений поиска

точки минимума X .

В отличие от других методов нулевого порядка, метод Розенброка ориентирован на отыскание оптимальной точки в каждом направлении, а не просто на фиксированный сдвиг по всем направлениям. Величина шага в процессе поиска непрерывно изменяется в зависимости от рельефа поверхности уровня. Сочетание вращения координат с регулированием шага делает метод Розенброка эффективным при решении сложных задач оптимизации.

В частности, данный метод в отличие от многих других эффективен при минимизации так называемых "овражных" функций (с сильно вытянутыми поверхностями уровня), так как результирующее направление поиска стремится расположиться вдоль оси «оврага».

Метод параллельных касательных (метод Пауэлла). Его суть состоит в последовательном проведении одномерного поиска минимума целевой функции по n+1 направлению каким-либо из известных одномерных методов. На первой итерации в качестве первых n направлений выбираются координатные, в качестве (n+1)-го направления используется первое из них (рис. 30). На каждой последующей итерации поиск начинается со второго направления предшествующей итерации, соответственно номера направлений уменьшаются на единицу; (n+1)-е направление последующей итерации задается вектором X– X[ n+1] – из точки минимума, найденной на первом шаге предшествующей итерации, через точку минимума, найденную на последнем ее шаге.

5. Многомерная оптимизация

Линейное программирование

Оптимизация – это целенаправленная деятельность, заключающаяся в получении наилучших результатов при соответствующих условиях.

Количественная оценка оптимизируемого качества называется критерием оптимальности илицелевой функцией .Её можно записать в виде:

где x 1 , x 2 , … , x n – некоторые параметры объектаоптимизации.

Существуют два типа задач оптимизации – безусловные и условные.

Безусловная задача оптимизации состоит в отыскании максимума или минимума действительной функции (5.1) от n действительных переменных и определении соответствующих значений аргументов.

Условныезадачи оптимизации , или задачи с ограничениями, - это такие, при формулировке которых на значения аргументов налагаются ограничения в виде равенств или неравенств.

Решение задач оптимизации, в которых критерий оптимальности является линейной функцией независимых переменных (то есть содержит эти переменные в первой степени) с линейными ограничениями на них, составляет предмет линейного программирования.

Слово «программирование» отражает здесь конечную цель исследования – определение оптимального плана или оптимальной программы, по которой из множества возможных вариантов исследуемого процесса выбирают по какому-либо признаку наилучший, оптимальный, вариант.

Примером такой задачи является задача оптимального распределения сырья между различными производствами при максимальной стоимости продукции.

Пусть из двух видов сырья изготавливается продукция двух видов.

Обозначим: x 1 , x 2 – число единиц продукции первого и второго вида, соответственно; c 1 , c 2 –ценаединицы продукции первого и второго вида, соответственно. Тогда общая стоимость всей продукции будет :

В результате производства желательно, чтобы общая стоимость продукции была максимальной. R (x 1 , x 2 ) – целевая функция в данной задаче.

b 1 , b 2 –количество сырья первого ивторого видов, имеющееся в наличии; a ij – число единиц i -го вида сырья, необходимое для производства единицы j -го вида продукции.

Учитывая, что расход данного ресурса не может превышать общего его количества, запишем ограничительные условия по ресурсам:

Относительно переменных x 1 , x 2 можно ещё сказать, что они неотрицательныине бесконечны.:

Среди множества решений системы неравенств (5.3) и (5.4)требуется найти такое решение (x 1 , x 2 ), для которого функция R достигает наибольшего значения.

В аналогичном виде формулируются так называемые транспортные задачи (задачи оптимальной организации доставки товаров, сырья или продукции из различных складов к нескольким пунктам назначения при минимуме затрат на перевозку) и ряд других.

Графический метод решения задачилинейного программирования.

Пусть требуется найти x 1 и x 2 , удовлетворяющие системе неравенств:

и условиям неотрицательности :

для которых функция

достигает максимума.

Решение.

Построим в системе прямоугольных координат x 1 Ox 2 область допустимых решений задачи (рис.11). Для этого, заменяя каждое из неравенств (5.5) равенством, строим соответствующую ему граничную прямую:

(i = 1, 2, … , r )

Рис. 11

Эта прямая делит всю плоскость на две полуплоскости. Для координат x 1 , x 2 любой точки А одной полуплоскости выполняется неравенство:

а для координат любой точки В другой полуплоскости – противоположное неравенство:

Координаты любой точки граничной прямой удовлетворяют уравнению:

Для определения того, по какую сторону от граничной прямой располагается полуплоскость, соответствующая заданному неравенству, достаточно «испытать» одну какую-либо точку (проще всего точку О (0;0)). Если при подстановке её координат в левую часть неравенства оно удовлетворяется, то полуплоскость обращена в сторону к испытуемой точке, если же неравенство не удовлетворяется, то соответствующая полуплоскость обращена в противоположную сторону. Направление полуплоскости показывается на чертеже штриховкой. Неравенствам:

соответствуют полуплоскости, расположенные справа от оси ординат и над осью абсцисс.

На рисунке строим граничные прямые и полуплоскости, соответствующие всем неравенствам.

Общая, часть (пересечение) всех этих полуплоскостей будет представлять собой область допустимых решений данной задачи.

При построении области допустимых решений в зависимости от конкретного вида системы ограничений (неравенств) на переменные может встретиться один из следующих четырех случаев:

Рис. 12. Область допустимых решений пустая, что соответствует несовместности системы неравенств; решения нет

Рис. 13. Область допустимых решений изображается одной точкой А , что соответствует единственному решению системы

Рис. 14. Область допустимых решений ограниченная, изображается в виде выпуклого многоугольника. Допустимых решений бесконечное множество

Рис. 15. Область допустимых решений неограниченная, в виде выпуклой многоугольной области. Допустимых решений бесконечное множество

Графическое изображение целевой функции

при фиксированном значении R определяет прямую , а при изменении R - семейство параллельных прямых с параметром R . Для всех точек, лежащих на одной из прямых, функция R прини­мает одно определенное значение, поэтому указанные прямые называ­ются линиями уровня для функции R .

Вектор градиента:

перпендикулярный к линиям уровня, показывает направление возрастания R .

Задача отыскания оптимального решения системы неравенств (5.5), для которого целевая функция R (5.7) достигает максимума, гео­метрически сводится к определе­нию в области допустимых реше­ний точки, через которую пройдет линия уровня, соответствую­щая наибольшему значении пара­метра R

Рис. 16

Если область допустимых решений есть выпуклый многоугольник, то экстремум функции R достигается, по крайней мере, в одной из вер­шин этогомногоугольника.

Если экстремальное значение R достигается в двух вершинах, то такое же экстремальное значение достигается в любой точке на отрезке, соединяющем эти две вершины. В этом случае говорят, что задача имеет альтернативный оптимум .

В случае неограниченной области экстремум функции R либо не существует, либо достигается в одной из вершин области, либо имеет альтернативный оптимум.

Пример.

Пусть требуется найти значения x 1 и x 2 , удовлетворяющие системе неравенств:

и условиям неотрицательности :

для которых функция:

достигает максимума.

Решение.

Заменим каждое из неравенств равенством и построим граничные прямые:

Рис. 17

Определим полуплоскости, соответствующие данным неравенствам, путём «испытания» точки (0;0). С учетом неотрицательности x 1 и x 2 получим область допустимых решений данной задачи в виде выпуклого многоугольника ОАВДЕ .

В области допустимых решений находим оптимальное решение, строя вектор градиента

показывающий направление возрастания R .

Оптимальное решение соответствует точке В , координаты которой можно определить либо графически, либо путем решения системы двух уравнений, соответствующих граничным прямым АВ и ВД:

Ответ: x 1 = 2; x 2 = 6; R max = 22.

Задания. Найти положение точки экстремума и экстремальное значение целевой функции

при заданных ограничениях.