V цилиндра = S осн. ∙ h

Пример 2. Дан прямой круговой конус АВС равносторонний, ВО = 10 . Найдите объем конуса.

Решение

Найдем радиус основания конуса. С= 60 0 , В=30 0 ,

Пусть ОС = а , тогда ВС = 2а . По теореме Пифагора:

Ответ: .

Пример 3 . Вычислить объемы фигур, образованных вращением площадей, ограниченных указанными линиями.

y 2 = 4x; y = 0; x = 4.

Пределы интегрирования a = 0, b = 4.

V= | =32π

Задания

Вариант 1

1. Осевое сечение цилиндра – квадрат, диагональ которого равна 4 дм. Найти объем цилиндра.

2. Внешний диаметр полого шара равен 18 см, толщина стенок 3 см. Найти объем стенок шара.

х фигуры, ограниченной линиями у 2 =х, у=0, х=1, х=2.

Вариант 2

1. Радиусы трех шаров равны 6 см, 8 см, 10 см. определить радиус шара, объем которого равен сумме объемов данных шаров.

2. Площадь основания конуса 9 см 2 , площадь полной поверхности его 24 см 2 . Найти объем конуса.

3. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями у 2 =2х, у=0, х=2, х=4.

Контрольные вопросы:

1. Напишите свойства объемов тел.

2. Напишите формулу для вычисления объема тела вращения вокруг оси Оу.

Пусть дан прямой круговой цилиндр, горизонтальная плоскость проекций параллельна его основанию. При пересечении цилиндра плоскостью общего положения (считаем, что плоскость не пересекает оснований цилиндра) линией пересечения является эллипс, само сечение имеет форму эллипса, его горизонтальная проекция совпадает с проекцией основания цилиндра, а фронтальная также имеет форму эллипса. Но если секущая плоскость составляет с осью цилиндра угол, равный 45°, то сечение, имеющее форму эллипса, проецируется окружностью на ту плоскость проекций, к которой сечение наклонено на тот же угол.

Если секущая плоскость пересекает боковую поверхность цилиндра и одно из его оснований (рис. 8.6), то линия пересечения имеет форму неполного эллипса (части эллипса). Горизонтальная проекция сечения в этом случае - часть круга (проекции основания), а фронтальная - часть эллипса. Плоскость может располагаться перпендикулярно какой-либо плоскости проекций, тогда на эту плоскость проекций сечение будет проецироваться прямой линией (часть следа секущей плоскости).

Если цилиндр пересекается плоскостью, параллельной образующей, то линии пересечения с боковой поверхностью - прямые, а само сечение имеет форму прямоугольника, если цилиндр прямой, или параллелограмма, если цилиндр наклонный.

Как известно, и цилиндр, и конус образованы линейчатыми поверхностями.

Линией пересечения (линией среза) линейчатой поверхности и плоскости в общем случае является некоторая кривая, которая строится по точкам пересечения образующих с секущей плоскостью.

Пусть дан прямой круговой конус. При пересечении его плоскостью линия пересечения может иметь форму: треугольника, эллипса, окружности, параболы, гиперболы (рис. 8.7) в зависимости от расположения плоскости.

Треугольник получается в случае, когда секущая плоскость, пересекая конус, проходит через его вершину. При этом линии пересечения с боковой поверхностью представляют собой пересекающиеся в вершине конуса прямые, которые вместе с линией пересечения основания образуют треугольник, проецирующийся на плоскости проекций с искажением. Если плоскость пересекает ось конуса, то в сечении получается треугольник, у которого угол с вершиной, совпадающей с вершиной конуса, будет максимальным для сечений-треугольников данного конуса. В этом случае сечение проецируется на горизонтальную плоскость проекций (она параллельна его основанию) отрезком прямой.

Эллипсом линия пересечения плоскости и конуса будет, если плоскость не параллельна ни одной из образующих конуса. Это равносильно тому, что плоскость пересекает все образующие (всю боковую поверхность конуса). Если секущая плоскость при этом параллельна основанию конуса, то линия пересечения является окружностью, само сечение проецируется на горизонтальную плоскость проекций без искажений, а на фронтальную - отрезком прямой линии.

Параболой линия пересечения будет тогда, когда секущая плоскость параллельна только какой-нибудь одной образующей конуса. Если же секущая плоскость параллельна одновременно двум образующим, то линия пересечения - гипербола.

Усеченный конус получается, если прямой круговой конус пересечь плоскостью, параллельной основанию и перпендикулярной оси конуса, и отбросить верхнюю часть. В случае, когда горизонтальная плоскость проекций параллельна основаниям усеченного конуса, эти основания проецируются на горизонтальную плоскость проекций без искажений концентрическими окружностями, а фронтальная проекция представляет собой трапецию. При пересечении усеченного конуса плоскостью в зависимости от ее расположения линия среза может иметь форму трапеции, эллипса, окружности, параболы, гиперболы или части одной из данных кривых, концы которой соединены прямой.

Диагностическая работа состоит из двух частей, включающих в себя 19 заданий. Часть 1 содержит 8 заданий базового уровня сложности с кратким ответом. Часть 2 содержит 4 задания повышенного уровня сложности с кратким ответом и 7 заданий повышенного и высокого уровней сложности с развернутым ответом.
На выполнение диагностической работы по математике отводится 3 часа 55 минут (235 минут).
Ответы к заданиям 1-12 записываются в виде целого числа или конечной десятичной дроби. Числа запишите в поля ответов в тексте работы, а затем перенесите в бланк ответов № 1. При выполнении заданий 13-19 требуется записать полное решение и ответ в бланк ответов № 2.
Все бланки заполняются яркими чёрными чернилами. Допускается использование гелевой, капиллярной или перьевой ручек.
При выполнении заданий можно пользоваться черновиком. Записи в черновике не учитываются при оценивании работы.
Баллы, полученные Вами за выполненные задания, суммируются.
Желаем успеха!

Условия задач

1. Найдите , если
2. Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с главным фокусным расстоянием = 30 см. Расстояние от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 40 до 65 см, а расстояние от линзы до экрана - в пределах от 75 до 100 см. Изображение на экране будет чётким, если выполнено соотношение . Укажите, на каком наибольшем расстоянии от линзы можно поместить лампочку, чтобы её изображение на экране было чётким. Ответ выразите в сантиметрах.
3. Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 300 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 15 км/ч, стоянка длится 5 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 50 часов после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.
4. Найдите наименьшее значение функции на отрезке
5. а) Решите уравнение б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
6. Дан прямой круговой конус с вершиной М . Осевое сечение конуса - треугольник с углом 120° при вершине М . Образующая конуса равна . Через точку М проведено сечение конуса, перпендикулярное одной из образующих.
   а) Докажите, что получившийся в сечении треугольник - тупоугольный.
   б) Найдите расстояние от центра О основания конуса до плоскости сечения.
7. Решите уравнение
8. Окружность с центром О касается боковой стороны АВ равнобедренного треугольника ABC, продолжения боковой стороны АС и продолжения основания ВС в точке N . Точка М - середина основания ВС.
   а) Докажите, что MN = АС.
   б) Найдите ОС, если стороны треугольника ABC равны 5, 5 и 8.
9. Бизнес-проект «А» предполагает в течение первых двух лет рост вложенных в него сумм на 34,56% ежегодно и на 44% ежегодно в течение следующих двух лет. Проект «Б» предполагает рост на постоянное целое число n процентов ежегодно. Найдите наименьшее значение n , при котором за первые четыре года проект «Б» будет выгоднее проекта «А».
10. Найдите все значения параметра , , при каждом из которых система уравнений имеет единственное решение
11. Аня играет в игру: на доске написаны два различных натуральных числа и , оба меньше 1000. Если и оба натуральные, то Аня делает ход - заменяет этими двумя числами предыдущие. Если хотя бы одно из этих чисел не является натуральным, то игра прекращается.
    а) Может ли игра продолжаться ровно три хода?
    б) Существуют ли два начальных числа таких, что игра будет продолжаться не менее 9 ходов?
    в) Аня сделала первый ход в игре. Найдите наибольшее возможное отношение произведения полученных двух чисел к произведению

Муниципальное общеобразовательное учреждение

Алексеевская средняя общеобразовательная школа

«Образовательный центр»

Разработка урока

Тема: ПРЯМОЙ КРУГОВОЙ КОНУС.

СЕЧЕНИЕ КОНУСА ПЛОСКОСТЯМИ

Учитель математики

учебный год

Тема: ПРЯМОЙ КРУГОВОЙ КОНУС.

СЕЧЕНИЕ КОНУСА ПЛОСКОСТЯМИ.

Цель урока: разобрать определения конуса и подчинённых понятий (вершина, основание, образующие, высота, ось);

рассмотреть сечения конуса, проходящие через вершину, в том числе осевые;

способствовать развитию пространственного воображения учащихся.

Задачи урока:

Образовательная: изучить основные понятия тела вращения (конус).

Развивающая: продолжить формирование умений навыков анализа, сравнения; умений выделять главное, формулировать выводы.

Воспитательная: воспитание у учащихся интереса к обучению, привитие навыков коммуникативного общения.

Тип урока: лекция.

Методы обучения: репродуктивный, проблемный, частично – поисковый.

Оборудование: таблица, модели тел вращения, мультимедийное оборудование.

Ход урока

I . Организационный момент.

На предыдущих уроках мы уже познакомились с телами вращения и более подробно остановились на понятии цилиндра. На таблице вы видите два чертежа и работая в парах сформулируйте правильно вопросы по пройденной теме.

П. Проверка домашнего задания.

Ра­боту в парах с использованием тематической таблицы (призма, вписанная в цилиндр и призма, описанная около цилиндра).

Например, в парах и индивидуально учащиеся могут задать вопросы:

Что такое круговой цилиндр (образующая цилиндра, основания цилиндра, боковая поверхность цилиндра)?

Какая призма называется описанной около цилиндра?

Какая плоскость называется касательной к цилиндру?

Какими фигурами можно назвать многоугольники ABC , A 1 B 1 C 1 , ABCDE и A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 ?

- Какой призмой является призма ABCDEABCDE ? (Пря­ мой.)

- Докажите, что она является прямой призмой.

(по желанию 2 пары учащихся у доски выполняют работу)

III . Актуализация опорных знаний.

По материалу планиметрии:

Теорема Фалеса;

Свойства средней линии треугольника;

Площадь круга.

По материалу стереометрии:

Понятие гомотетия;

Угол между прямой и плоскостью.

IV. Изучение нового материала.

(учебно - методический комплект «Живая математика», приложение 1 .)

После представленного материала предлагается план работы:

1. Определение конуса.

2. Определение прямого конуса.

3. Элементы конуса.

4. Развертка конуса.

5. Получение конуса как тела вращения.

6. Виды сечений конуса.

Ответы на эти вопросы учащиеся самостоятельно нахо­ дят в п.184-185, сопровождая их рисунками.

Валеологическая пауза: Устали? Давайте перед следующим практическим этапом работы отдохнём!

· Массаж рефлекторных зон на ушной раковине, отвечающих за работу внутренних органов;

· Массаж рефлекторных зон на ладонях рук;

· Гимнастика для глаз(зажмурить и резко открыть глаза);

· Растяжка позвоночника (поднять руки вверх, подтянуться правой, а затем левой рукой)

· Дыхательная гимнастика, направленная на процесс насыщения кислородом головного мозга (резко вдохнуть носом 5 раз)

Составляется тематическая таблица (совместно с учителем), сопровождая заполнение таблицы вопросами и полученным материалом из различных источников (учебник и компьютерная презентация)

«Конус. Усеченный конус».

V. Закрепление материала.

Фронтальная работа.

· Устно (с помощью готового чертежа) решаются №9 и №10.

(двое учащихся объясняют решение задач, остальные могут выполнять краткие записи в тетрадях)

№9. Радиус основания конуса 3м., высота конуса – 4м. найдите образующую.

(Решение: l =√ R 2 + H 2 =√32+42=√25=5м.)

№10 Образующая конуса l наклонена к плоскости основания под углом 30◦. Найдите высоту.

(Решение: H = l sin 30◦ = l |2.)

· Решите задачу по готовому чертежу .

Высота конуса равна h. Через об­разующие МА и MB проведена плос­кость, составляющая угол а с плос­костью основания конуса. Хорда АВ стягивает дугу с градусной мерой р.

1. Докажите, что сечение конуса плоскостью МАВ - равнобедренный треугольник.

2. Объясните, как построить линейный угол двугранного уг­ла, образованный секущей плоскостью и плоскостью основания конуса.

3. Найдите МС.

4. Составьте (и объясните) план вычисления длины хорды АВ и площади сечения МАВ.

5. Покажите на рисунке, как можно провести перпендикуляр из точки О к плоскости сечения МАВ (обоснуйте построение).

· Повторение:

изученного материала из планиметрии:

Определение равнобедренного треугольника;

Свойства равнобедренного треугольника;

Площадь треугольника

изученного материала из стереометрии:

Определение угла между плоскостями;

Способ построения линейного угла двугранного угла.

Тест для самопроверки

1. Нарисуйте тела вращения, образованные вращением пло­ских фигур, изображенных на рисунке.

2. Укажите, вращением какой плоской фигуры получилось изображенное тело вращения.(б)