Дискретные случайные величины Случайные величины, принимающие только отделенные друг от друга значения, которые заранее можно перечислить Примеры: - число выпадений орла при трех бросках монеты; - число попаданий в мишень при 10 выстрелах; - число вызовов, поступивших на станцию скорой помощи за сутки.
Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями. Закон распределения случайной величины может задаваться в виде: таблицы графика формулы (аналитически).
Расчет вероятности реализации определенных значений случайного числа Число выпадений орла равно 0 – события: РР – вероятность 0,5 *0,5 =0, 25 Число выпадений орла равно 1 – события: Р0 или ОР – вероятность 0,5 *0,5 + 0,5*0,5 = 0,5 Число выпадений орла равно 2 – события: 00 – вероятность 0,5 *0,5 = 0,25 Сумма вероятностей: 0,25 + 0,50 + 0,25 = 1
Вычисление значений ряда распределений случайного числа Задача. Стрелок производит 3 выстрела по мишени. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле равна 0,4.За каждое попадание стрелку начисляется 5 очков. Построить ряд распределения числа выбитых очков. Вероятность событий: биномиальное распределение Обозначение события: попал – 1, не попал - 0 Полная группа событий: 000, 100, 010, 001, 110, 101, 011, 111 k = 0, 1, 2, 3
Ряд распределения случайного числа выбитых очков события число очков вероятность события0,2160,4320,2880,064
Операции сложения и умножения случайных величин Суммой двух случайных величин X и Y называется случайная величина, которая получается в результате сложения всех значений случайной величины X и всех значений случайной величины Y, соответствующие вероятности перемножаются X01 p0,20,70,1 Y123 p0,30,50,2
Операции сложения случайных величин Z = = =2 0+1 =1 0+2 =2 0+3 =3 1+1 =2 1+2 =3 1+3 =4 p 0,060,10,040,210,350,140,030,050,02 Z01234 p0,060,310,420,190,02
Операции умножения случайных величин Произведением двух случайных величин X и Y называется случайная величина, которая получается в результате перемножения всех значений случайной величины X и всех значений случайной величины Y, соответствующие вероятности перемножаются X01 p0,20,70,1 Y123 p0,30,50,2
Свойства функции распределения F(X) 0 F(x) 1 F(X)- неубывающая функция Вероятность попадания случайной величины X в интервал (a,b) равна разности значений функции распределения в правом и левом концах интервала: P(a X
Основные характеристики дискретных случайных величин Математическое ожидание (среднее значение) случайной величины равно сумме произведений значений, принимаемых этой величиной, на соответствующие им вероятности: М(x)=x 1 Р 1 + x 2 Р x n P n =
Xixi PiPi x i P i (x i – M) 2 (x i – M) 2 P i 2 0,1 0,2 (2-3,6) 2 = 2,560,256 30,30,9 (3-3,6) 2 = 0,360,108 40,52 (4-3,6) 2 = 0,160,08 50,10,50,5 (5-3,6) 2 = 1,960,196 ПРИМЕР: Рассчитать основные числовые характеристики для числа заказов препарата, поступивших за 1 час M(x)=3,6 D(x)=0,64
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА: Основная литература: Ганичева А.В., Козлов В.П. Математика для психологов. М.: Аспект-пресс, 2005, с Павлушков И.В. Основы высшей математики и математической статистики. М., ГЭОТАР-Медиа, Журбенко Л. Математика в примерах и задачах. М.: Инфра-М, Учебно–методические пособия: Шапиро Л.А., Шилина Н.Г. Руководство к практическим занятиям по медицинской и биологической статистике Красноярск: ООО «Поликом». – 2003.
Дискретные случайные величины
Рассмотрим случайную величину * , возможные значения которой образуют конечную или бесконечную последовательность чисел x1, x2, ..., xn, ... . Пусть задана функция p(x), значение которой в каждой точке x=xi (i=1,2, ...) равно вероятности того, что величина примет значение xi
Такая случайная величина называется дискретной (прерывной). Функция р(х) называется законом распределения вероятностей случайной величины, или кратко, законом распределения. Эта функция определена в точках последовательности x1, x2, ..., xn, ... . Так как в каждом из испытаний случайная величина принимает всегда какое-либо значение из области ее изменения, то
Такая случайная величина называется дискретной (прерывной). Функция р(х) называется законом распределения вероятностей случайной величины, или кратко, законом распределения. Эта функция определена в точках последовательности x1, x2, ..., xn, ... . Так как в каждом из испытаний случайная величина принимает всегда какое-либо значение из области ее изменения, то
Пример 1. Случайная величина - число очков, выпадающих при однократном бросании игральной кости. Возможные значения - числа 1, 2, 3, 4, 5 и 6. При этом вероятность того, что примет любое из этих значений, одна и та же и равна 1/6. Какой будет закон распределения? (Решение)
Пример 1. Случайная величина - число очков, выпадающих при однократном бросании игральной кости. Возможные значения - числа 1, 2, 3, 4, 5 и 6. При этом вероятность того, что примет любое из этих значений, одна и та же и равна 1/6. Какой будет закон распределения? (Решение)
Пример 2. Пусть случайная величина - число наступления события A при одном испытании, причем P(A)=p. Множество возможных значений состоит из 2-х чисел 0 и 1: =0, если событие A не произошло, и =1, если событие A произошло. Таким образом,
Закон распределения вероятностей по формуле Бернулли часто называют биномиальным, так как Pn(m) представляет собой m-й член разложения бинома.
Закон распределения вероятностей по формуле Бернулли часто называют биномиальным, так как Pn(m) представляет собой m-й член разложения бинома.
Пусть случайная величина может принимать любое целое неотрицательное значение, причем
Пример 3. На завод прибыла партия деталей в количестве 1000 шт. Вероятность того, что деталь окажется бракованной, равна 0,001. Какова вероятность того, что среди прибывших деталей будет 5 бракованных? (Решение)
Пример 3. На завод прибыла партия деталей в количестве 1000 шт. Вероятность того, что деталь окажется бракованной, равна 0,001. Какова вероятность того, что среди прибывших деталей будет 5 бракованных? (Решение)
Распределение Пуассона часто встречается и в других задачах. Так, например, если телефонистка в среднем за один час получает N вызовов, то, как можно показать, вероятность Р(k) того, что в течение одной минуты она получит k вызовов, выражается формулой Пуассона, если положить
Если возможные значения случайной величины образуют конечную последовательность x1, x2, ..., xn, то закон распределения вероятностей случайной величины задают в виде следующей таблицы, в которой
Если возможные значения случайной величины образуют конечную последовательность x1, x2, ..., xn, то закон распределения вероятностей случайной величины задают в виде следующей таблицы, в которой
По горизонтальной оси будем откладывать возможные значения случайной величины
По горизонтальной оси будем откладывать возможные значения случайной величины, а по вертикальной оси - значения функции. График функции р(х) изображен на рис. 2. Если соединить точки этого графика прямолинейными отрезками, то получится фигура, которая называется многоугольником распределения.
Вероятности p(xi) вычислены по формуле Бернулли при n=10. Для x>6 они практически равны нулю. График функции p(x) изображен на рис. 3.
Вероятности p(xi) вычислены по формуле Бернулли при n=10. Для x>6 они практически равны нулю. График функции p(x) изображен на рис. 3.
Готовые презентации по математике используют в качестве наглядных пособий, которые позволяют учителю или родителю продемонстрировать изучаемую тему из учебника с помощью слайдов и таблиц, показать примеры по решению задач и уравнений, а также проверить знания. В данном разделе сайта можно найти и скачать множество готовых презентаций по математике для учащихся 1,2,3,4,5,6 класса, а также презентации по высшей математике для студентов ВУЗов.
«Основы математической статистики» - Числовое значение величины – кол-во успехов в серии испытаний. Некоторые определения. Основы теории проверки статистических гипотез. Ошибки при проверке статистических гипотез. В серии из n испытаний должно одновременно произойти k успехов и n-k - «неуспехов». Какова вероятность из выбранной наугад корзины выбрать белый шар?
«Основные статистические характеристики» - Медиана. Мода ряда. Размах ряда. Размах. Медиана ряда. Среднее арифметическое ряда чисел. Петроний. Найдите среднее арифметическое. Школьные тетради. Основные статистические характеристики. Статистика.
«Статистическое исследование» - Впервые термин «статистика» мы находим в художественной литературе. Относительная частота события. Размах – это разность наибольшего и наименьшего значений ряда данных. Статистика - это прежде всего способ мышления. Гипотеза. Основные статистические характеристики. Нужна ли тебе помощь при выполнении домашнего задания по математике.
«Теория вероятности и статистика» - Теорема Чебышева. Случайная величина. Проверка гипотезы о числовом значении вероятности. Поток событий. Многомерная случайная величина. Относительная частота. Зависимые случайные величины. Проверка гипотезы о значимости выборочного коэффициента. Статистический смысл математического ожидания. Случайный эксперимент.
«Элементы математической статистики» - Детали изготавливаются на разных станках. Доверительный интервал для неизвестной дисперсии. Статистические оценки. Интервальные оценки. Способы отбора. Генеральная совокупность. Корреляционный момент. Проверка статистических гипотез. Расчет доверительных интервалов при неизвестной дисперсии. Сравнение двух дисперсий.
«Вероятность и математическая статистика» - Описательная статистика. Белые и красные розы. Урезанное среднее. Оцените возможность наступления событий. Диаграммы рассеивания. Изображения диаграмм. Рассмотрим события. Шифр для сейфа. Плюшка. Точность полученных значений. Комбинаторные задачи. В алфавите племени Уауа имеются только две буквы. Отметки по математике.
Всего в теме 17 презентаций
Контрольные вопросы1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Что называют случайной величиной?
Какие виды случайных величин вы знаете?
Что называют дискретной случайной
величиной?
Что называют законом распределения
случайной величины?
Как можно задать закон распределения
случайной величины?
Как можно задать закон распределения ДСВ?
Назовите основные числовые характеристики
ДСВ, и запишите формулы для их вычисления.
Случайными величинами называются величины, которые в результате опыта принимают те или иные значения, причем неизвестно заранее, какие именно.
Обозначают: X,Y,Z
Примером случайной величины может служить:
1) Х – число очков, появляющееся при бросании игральной кости
2) У – число выстрелов до первого попадания в цель
3) Рост человека, курс доллара, выигрыш игрока и т.д.
Случайная величина, принимающая счетное множество значений называется дискретной.
Если множество значений с.в. Несчетно, то такая величина называется непрерывной.
Случайной величиной Х называется числовая функция, определенная на пространстве элементарных событийΩ, которая каждому элементарному событию W ставит в соответствие число Х(w), т.е. Х=Х(w),W
Пример : Опыт состоит в бросании монеты 2 раза. На пространстве элементарных событий Ω{W1 ,W2 ,W3 ,W4 } где W1 =ГГ, W2 =ГР, W3 =РГ, W4 =РР. Можно рассмотреть с.в. Х – число появления герба. Х является функцией от
элементарного события W2 : X(W1 )=2, X(W2 )=1, X(W3 )=1, X(W4 )=0 X – дискретная с.в. Со значениями X1 =0, X2 =1, X3 =2.
Для полного описания случайной величины недостаточно лишь знания ее возможных значений. Необходимо еще знать вероятности этих значений
СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ
Пусть Х – дискретная с.в., которая принимает значения х1 ,
х2 …хn ..
С некоторой вероятностью Pi =P{X=xi }, i=1,2,3…n…, определяющей вероятность того, что в результате опыта с.в. Х примет значение xi
Такую таблицу называют рядом распределения
Так как события {X=x },{X=x }… несовместны и образуют
1 p i 1 2
полную группу, то i сумма1 их вероятностей равна
Ломаную, соединяющую точки (Х1 , Р1 ), (Х2 ,Р2 ),… называют
многоугольником распределения.
x 1 x 2 |
Случайная величина Х дискретна, если конечное или счетное множество Х1 , Х2 ,…,Xn ,… таких, что P{X=xi } = pi > 0
(i=1,2,…) и p1 +p2 +p3 +… =1
Пример: В урне 8 шаров из которых 5 белых, остальные – черные. Из нее вынимают наудачу 3 шара. Найти закон распределения числа белых шаров в выборке.
Решение: Возможные значения с.в. Х – число белых шаров в выборке есть x1 =0, x2 =1, x3 =2, x4 =3.
Вероятности их соответственно будут |
||||||||||||||||||
p{ x 0} |
||||||||||||||||||
C 5 1 C 3 2 |
||||||||||||||||||
P2 =p{x=1}= |
Контроль: |
|||||||||||||||||
С 2 С1 |
||||||||||||||||||
P3 =p{x=2}= |
||||||||||||||||||
С 5 3 С 3 0 |
||||||||||||||||||
P4 =p{x=2}= |
С8 3 |
|||||||||||||||||
Универсальным способом задания закона распределения вероятностей, пригодным как для дискретных, так и для непрерывных случайных величин, является ее функция распределения.
Функцию F(x) называют интегральной функцией распределения.
Геометрически равенство (1) можно истолковать так: F(x) есть вероятность того, что с.в. Х примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки х, т.е. случайная точка Х попадет в интервал (∞,х)
Функция распределения обладает свойствами : |
|||
1)F(x) ограничена, т.е. 0 F (x ) 1 |
|||
2)F(x) – неубывающая функция на R т.е. если, x 2 x 1 то |
|||
F (x2 ) F(x1 ) |
|||
3)F(x) обращается в ноль на минус бесконечности и равна 1 |
|||
в плюс бесконечности т.е. |
F(∞)=0, F(+∞)=1 |
||
4) Вероятность с.в. Х в промежуток равна приращению |
|||
ее функции распределения на этом промежутке т.е. |
|||
P{ a X b} F(b) F(a) |
5) F(x) непрерывна слева т.е. Lim F(x)=F(x0 )
x x0
С помощью функции распределения можно вычислить
Равенство (4) непосредственно вытекает из определения
6) Если всеx возможныеa значенияx b случайной величины Х
принадлежат интервалу (a,b), то для ее функции распределения F(x)=0 при, F(x)=1 при
Важнейшей характеристикой непрерывной случайной величины является плотность распределения вероятностей.
Случайная величина Х называется непрерывной, если ее
функция распределения непрерывна и дифференцируема всюду, кроме отдельных точек.
Плотностью распределения вероятностей непрерывной с.в. Х называется производная ее функции распределения. Обозначается f(x) F /
Из определения производной следует: |
||||||
F (x) |
F(x x) F(x) |
|||||
P{ x X x x} |
||||||
Но согласно формуле (2) oтношение |
представляет собой среднюю вероятность, которая приходится на единицу длины участка , т.е. среднюю плотность распределения вероятности. Тогда
P{ x X x x} |
||||
Т.е.плотность распределения есть предел отношения |
||||
вероятности попадания случайной величины в |
||||
промежуток |
К длине ∆х этого промежутка, |
|||
F (x x F (x) P{ x X x x} |
||||
когда ∆х→0 |
(6) равенства следует |
Т.е. плотность вероятности определяется как функция f(x), удовлетворяющая условиюP { x X x x } f (x ) dx
Выражение f(x)dx называется элементом вероятности.
Свойства плотности распределения:
1) f(x) неотрицательна, т.е. f (x ) 0