Klass: 9

Tunni eesmärgid:

1. üldistada, laiendada ja süstematiseerida õpilaste teadmisi ja oskusi; õpetada kasutama teadmisi keeruliste probleemide lahendamisel;
2. soodustada teadmiste iseseisva rakendamise oskuste kujunemist probleemide lahendamisel;
3. arendada õpilaste loogilist mõtlemist ja matemaatilist kõnet, analüüsi-, võrdlemis- ja üldistusvõimet;
4. kasvatada õpilasi enesekindluses, töökuses; oskus töötada meeskonnas.

Tunni eesmärgid:

• Hariduslik: korda Menelaose ja Ceva teoreeme; rakendada neid probleemide lahendamisel.
• Arendamine:õpetada püstitama hüpoteesi ja oskuslikult oma arvamust tõenditega kaitsma; testida oskust oma teadmisi üldistada ja süstematiseerida.
• Hariduslik: tõsta huvi aine vastu ja valmistuda keerulisemate probleemide lahendamiseks.

Tunni tüüp: teadmiste üldistamise ja süstematiseerimise tund.

Varustus: kaardid kollektiivseks tööks antud teema tunnis, individuaalsed kaardid iseseisvaks tööks, arvuti, multimeediaprojektor, ekraan.

Tundide ajal

ma lavastan. Organisatsioonihetk (1 min)

Õpetaja selgitab tunni teemat ja eesmärki.

II etapp. Põhiteadmiste ja oskuste realiseerimine (10 min.)

Õpetaja: Tunnis tuletame meelde Menelaose ja Ceva teoreeme, et edukalt probleemide lahendamisega edasi liikuda. Vaatame koos teiega ekraani. Millise teoreemi jaoks see pilt on mõeldud? (Menelaose teoreem). Proovige teoreem selgelt sõnastada.

1. pilt

Olgu punkt A 1 kolmnurga ABC küljel BC, punkt C 1 küljel AB, punkt B 1 külje AC pikendusel punktist C kaugemal. Punktid A 1 , B 1 ja C 1 asuvad samal sirgel, kui ja ainult võrdsuse korral

Õpetaja: Vaatame koos järgmist pilti. Sõnasta selle joonise teoreem.

Joonis 2

Sirge AD lõikab kolmnurga BMC kahte külge ja kolmanda külje pikendust.

Menelaose teoreemi järgi

Sirge MB lõikab kolmnurga ADC kahte külge ja kolmanda külje pikendust.

Menelaose teoreemi järgi

Õpetaja: Millisele teoreemile pilt vastab? (Ceva teoreem). Sõnasta teoreem.

Joonis 3

Olgu kolmnurga ABC punkt A 1 küljel BC, punkt B 1 küljel AC, punkt C 1 küljel AB. Lõigud AA 1 , BB 1 ja CC 1 lõikuvad ühes punktis siis ja ainult siis, kui võrdsus

III etapp. Probleemi lahendamine. (22 minutit)

Klass on jagatud 3 võistkonda, igaüks saab kaardi kahe erineva ülesandega. Lahendamiseks antakse aega, seejärel kuvatakse ekraan<Рисунки 4-9>. Ülesannete jaoks valminud jooniste järgi selgitavad meeskondade esindajad kordamööda oma lahendust. Igale selgitusele järgneb arutelu, küsimustele vastused ja lahenduse õigsuse kontrollimine ekraanil. Arutelus osalevad kõik meeskonnaliikmed. Mida aktiivsem on meeskond, seda kõrgemalt hinnatakse teda kokkuvõtete tegemisel.

Kaart 1.

1. Kolmnurga ABC küljel BC punkt N võetakse nii, et NC = 3BN; külje AC laiendil võetakse punkt M punktiks A nii, et MA = AC. Sirg MN lõikab külge AB punktis F. Leia suhe

2. Tõesta, et kolmnurga mediaanid lõikuvad ühes punktis.

Lahendus 1

Joonis 4

Ülesande tingimuse järgi MA = AC, NC = 3BN. Olgu MA = AC =b, BN = k, NC = 3k. Sirg MN lõikab kolmnurga ABC kahte külge ja kolmanda pikendust.

Menelaose teoreemi järgi

Vastus:

Tõestus 2

Joonis 5

Olgu AM 1 , BM 2 , CM 3 kolmnurga ABC mediaanid. Tõestamaks, et need lõigud ristuvad ühes punktis, piisab selle näitamisest

Seejärel lõikuvad (pöörd) Ceva teoreemi kohaselt lõigud AM 1 , BM 2 ja CM 3 ühes punktis.

Meil on:

Seega on tõestatud, et kolmnurga mediaanid lõikuvad ühes punktis.

2. kaart.

1. Punkt N võetakse kolmnurga PQR küljelt PQ ja punkt L küljelt PR ning NQ = LR. Lõike QL ja NR lõikepunkt jagab QL punktist Q lugedes suhtega m:n.

2. Tõesta, et kolmnurga poolitajad ristuvad ühes punktis.

Lahendus 1

Joonis 6

Eeldusel NQ = LR, olgu NA = LR =a, QF = km, LF = kn. Sirge NR lõikab kolmnurga PQL kahte külge ja kolmanda pikendust.

Menelaose teoreemi järgi

Vastus:

Tõestus 2

Joonis 7

Näitame seda

Siis AL 1 , BL 2 , CL 3 lõikuvad (pöörd) Ceva teoreemi kohaselt ühes punktis. Vastavalt kolmnurga poolitajate omadusele

Korrutades saadud võrrandid termini kaupa, saame

Kolmnurga poolitajate puhul on Ceva võrdsus täidetud, mistõttu nad ristuvad ühes punktis.

Kaart 3.

1. Kolmnurga ABC AD on mediaan, punkt O on mediaani keskpunkt. Sirg BO lõikab külge AC punktis K. Millises vahekorras jagab punkt K AC, lugedes punktist A?

2. Tõesta, et kui kolmnurka on kantud ringjoon, siis kolmnurga tippe vastaskülgede puutepunktidega ühendavad lõigud lõikuvad ühes punktis.

Lahendus 1

Joonis 8

Olgu BD = DC = a, AO = OD = m. Sirg VC lõikab kolmnurga ADC kahte külge ja kolmanda külje pikendust.

Menelaose teoreemi järgi

Vastus:

Tõestus 2

Joonis 9

Olgu A 1 , B 1 ja C 1 kolmnurga ABC sissekirjutatud ringi puutujapunktid. Tõestamaks, et lõigud AA 1 , BB 1 ja CC 1 ristuvad ühes punktis, piisab, kui näidata, et Ceva võrdsus kehtib:

Kasutades ühest punktist ringile tõmmatud puutujate omadust, võtame kasutusele tähise: C 1 B = BA 1 = x, AC 1 = CB 1 = y, BA 1 = AC 1 = z.

Kehtib Ceva võrdsus, mis tähendab, et kolmnurga poolitajad ristuvad ühes punktis.

IV etapp. Probleemide lahendamine (iseseisev töö) (8 min)

Õpetaja: Meeskondade töö on lõppenud ja nüüd alustame iseseisvat tööd 2 variandi individuaalsete kaartide kallal.

Tunni materjalid õpilaste iseseisvaks tööks

Valik 1. Kolmnurgas ABC, mille pindala on 6, küljele AB võetakse punkt K, mis jagab selle külje suhtega AK:BK = 2:3 ja küljel AC - punkt L, jagades AC suhe AL:LC = 5:3. Sirgete СК ja BL lõikepunkt Q eemaldatakse sirgelt AB kaugusel. Leia külje AB pikkus. (Vastus: 4.)

2. võimalus. Kolmnurga ABC küljelt AC võetakse punkt K. AK = 1, KS = 3. Punkt L on võetud küljelt AB. AL:LВ = 2:3, Q on sirgete BK ja CL lõikepunkt. Leia kolmnurga ABC kõrguse pikkus, mis on langetatud tipust B. (Vastus: 1.5.)

Töö esitatakse õpetajale läbivaatamiseks.

V etapp. Tunni kokkuvõte (2 min)

Analüüsitakse vigu, märgitakse üles originaalsed vastused ja kommentaarid. Iga meeskonna töö tulemused summeeritakse ja antakse hindeid.

VI etapp. Kodutöö (1 min)

Kodutöö moodustavad ülesanded nr 11, 12 lk 289-290, nr 10 lk 301.

Õpetaja lõppsõna (1 min).

Täna kuulsite kõrvalt üksteise matemaatilist kõnet ja hindasite oma võimeid. Edaspidi kasutame selliseid arutelusid teema paremaks mõistmiseks. Argumendid tunnis olid faktide sõbrad ja teooria praktikaga. Tänan teid kõiki.

Kirjandus:

1. Tkachuk V.V. Matemaatika taotlejale. – M.: MTsNMO, 2005.

Klass: 9

Tunni eesmärgid:

1. üldistada, laiendada ja süstematiseerida õpilaste teadmisi ja oskusi; õpetada kasutama teadmisi keeruliste probleemide lahendamisel;
2. soodustada teadmiste iseseisva rakendamise oskuste kujunemist probleemide lahendamisel;
3. arendada õpilaste loogilist mõtlemist ja matemaatilist kõnet, analüüsi-, võrdlemis- ja üldistusvõimet;
4. kasvatada õpilasi enesekindluses, töökuses; oskus töötada meeskonnas.

Tunni eesmärgid:

• Hariduslik: korda Menelaose ja Ceva teoreeme; rakendada neid probleemide lahendamisel.
• Arendamine:õpetada püstitama hüpoteesi ja oskuslikult oma arvamust tõenditega kaitsma; testida oskust oma teadmisi üldistada ja süstematiseerida.
• Hariduslik: tõsta huvi aine vastu ja valmistuda keerulisemate probleemide lahendamiseks.

Tunni tüüp: teadmiste üldistamise ja süstematiseerimise tund.

Varustus: kaardid kollektiivseks tööks antud teema tunnis, individuaalsed kaardid iseseisvaks tööks, arvuti, multimeediaprojektor, ekraan.

Tundide ajal

ma lavastan. Organisatsioonihetk (1 min)

Õpetaja selgitab tunni teemat ja eesmärki.

II etapp. Põhiteadmiste ja oskuste realiseerimine (10 min.)

Õpetaja: Tunnis tuletame meelde Menelaose ja Ceva teoreeme, et edukalt probleemide lahendamisega edasi liikuda. Vaatame koos teiega ekraani. Millise teoreemi jaoks see pilt on mõeldud? (Menelaose teoreem). Proovige teoreem selgelt sõnastada.

1. pilt

Olgu punkt A 1 kolmnurga ABC küljel BC, punkt C 1 küljel AB, punkt B 1 külje AC pikendusel punktist C kaugemal. Punktid A 1 , B 1 ja C 1 asuvad samal sirgel, kui ja ainult võrdsuse korral

Õpetaja: Vaatame koos järgmist pilti. Sõnasta selle joonise teoreem.

Joonis 2

Sirge AD lõikab kolmnurga BMC kahte külge ja kolmanda külje pikendust.

Menelaose teoreemi järgi

Sirge MB lõikab kolmnurga ADC kahte külge ja kolmanda külje pikendust.

Menelaose teoreemi järgi

Õpetaja: Millisele teoreemile pilt vastab? (Ceva teoreem). Sõnasta teoreem.

Joonis 3

Olgu kolmnurga ABC punkt A 1 küljel BC, punkt B 1 küljel AC, punkt C 1 küljel AB. Lõigud AA 1 , BB 1 ja CC 1 lõikuvad ühes punktis siis ja ainult siis, kui võrdsus

III etapp. Probleemi lahendamine. (22 minutit)

Klass on jagatud 3 võistkonda, igaüks saab kaardi kahe erineva ülesandega. Lahendamiseks antakse aega, seejärel kuvatakse ekraan<Рисунки 4-9>. Ülesannete jaoks valminud jooniste järgi selgitavad meeskondade esindajad kordamööda oma lahendust. Igale selgitusele järgneb arutelu, küsimustele vastused ja lahenduse õigsuse kontrollimine ekraanil. Arutelus osalevad kõik meeskonnaliikmed. Mida aktiivsem on meeskond, seda kõrgemalt hinnatakse teda kokkuvõtete tegemisel.

Kaart 1.

1. Kolmnurga ABC küljel BC punkt N võetakse nii, et NC = 3BN; külje AC laiendil võetakse punkt M punktiks A nii, et MA = AC. Sirg MN lõikab külge AB punktis F. Leia suhe

2. Tõesta, et kolmnurga mediaanid lõikuvad ühes punktis.

Lahendus 1

Joonis 4

Ülesande tingimuse järgi MA = AC, NC = 3BN. Olgu MA = AC =b, BN = k, NC = 3k. Sirg MN lõikab kolmnurga ABC kahte külge ja kolmanda pikendust.

Menelaose teoreemi järgi

Vastus:

Tõestus 2

Joonis 5

Olgu AM 1 , BM 2 , CM 3 kolmnurga ABC mediaanid. Tõestamaks, et need lõigud ristuvad ühes punktis, piisab selle näitamisest

Seejärel lõikuvad (pöörd) Ceva teoreemi kohaselt lõigud AM 1 , BM 2 ja CM 3 ühes punktis.

Meil on:

Seega on tõestatud, et kolmnurga mediaanid lõikuvad ühes punktis.

2. kaart.

1. Punkt N võetakse kolmnurga PQR küljelt PQ ja punkt L küljelt PR ning NQ = LR. Lõike QL ja NR lõikepunkt jagab QL punktist Q lugedes suhtega m:n.

2. Tõesta, et kolmnurga poolitajad ristuvad ühes punktis.

Lahendus 1

Joonis 6

Eeldusel NQ = LR, olgu NA = LR =a, QF = km, LF = kn. Sirge NR lõikab kolmnurga PQL kahte külge ja kolmanda pikendust.

Menelaose teoreemi järgi

Vastus:

Tõestus 2

Joonis 7

Näitame seda

Siis AL 1 , BL 2 , CL 3 lõikuvad (pöörd) Ceva teoreemi kohaselt ühes punktis. Vastavalt kolmnurga poolitajate omadusele

Korrutades saadud võrrandid termini kaupa, saame

Kolmnurga poolitajate puhul on Ceva võrdsus täidetud, mistõttu nad ristuvad ühes punktis.

Kaart 3.

1. Kolmnurga ABC AD on mediaan, punkt O on mediaani keskpunkt. Sirg BO lõikab külge AC punktis K. Millises vahekorras jagab punkt K AC, lugedes punktist A?

2. Tõesta, et kui kolmnurka on kantud ringjoon, siis kolmnurga tippe vastaskülgede puutepunktidega ühendavad lõigud lõikuvad ühes punktis.

Lahendus 1

Joonis 8

Olgu BD = DC = a, AO = OD = m. Sirg VC lõikab kolmnurga ADC kahte külge ja kolmanda külje pikendust.

Menelaose teoreemi järgi

Vastus:

Tõestus 2

Joonis 9

Olgu A 1 , B 1 ja C 1 kolmnurga ABC sissekirjutatud ringi puutujapunktid. Tõestamaks, et lõigud AA 1 , BB 1 ja CC 1 ristuvad ühes punktis, piisab, kui näidata, et Ceva võrdsus kehtib:

Kasutades ühest punktist ringile tõmmatud puutujate omadust, võtame kasutusele tähise: C 1 B = BA 1 = x, AC 1 = CB 1 = y, BA 1 = AC 1 = z.

Kehtib Ceva võrdsus, mis tähendab, et kolmnurga poolitajad ristuvad ühes punktis.

IV etapp. Probleemide lahendamine (iseseisev töö) (8 min)

Õpetaja: Meeskondade töö on lõppenud ja nüüd alustame iseseisvat tööd 2 variandi individuaalsete kaartide kallal.

Tunni materjalid õpilaste iseseisvaks tööks

Valik 1. Kolmnurgas ABC, mille pindala on 6, küljele AB võetakse punkt K, mis jagab selle külje suhtega AK:BK = 2:3 ja küljel AC - punkt L, jagades AC suhe AL:LC = 5:3. Sirgete СК ja BL lõikepunkt Q eemaldatakse sirgelt AB kaugusel. Leia külje AB pikkus. (Vastus: 4.)

2. võimalus. Kolmnurga ABC küljelt AC võetakse punkt K. AK = 1, KS = 3. Punkt L on võetud küljelt AB. AL:LВ = 2:3, Q on sirgete BK ja CL lõikepunkt. Leia kolmnurga ABC kõrguse pikkus, mis on langetatud tipust B. (Vastus: 1.5.)

Töö esitatakse õpetajale läbivaatamiseks.

V etapp. Tunni kokkuvõte (2 min)

Analüüsitakse vigu, märgitakse üles originaalsed vastused ja kommentaarid. Iga meeskonna töö tulemused summeeritakse ja antakse hindeid.

VI etapp. Kodutöö (1 min)

Kodutöö moodustavad ülesanded nr 11, 12 lk 289-290, nr 10 lk 301.

Õpetaja lõppsõna (1 min).

Täna kuulsite kõrvalt üksteise matemaatilist kõnet ja hindasite oma võimeid. Edaspidi kasutame selliseid arutelusid teema paremaks mõistmiseks. Argumendid tunnis olid faktide sõbrad ja teooria praktikaga. Tänan teid kõiki.

Kirjandus:

1. Tkachuk V.V. Matemaatika taotlejale. – M.: MTsNMO, 2005.

Menelaose teoreem või täielik neljatahuline teoreem on tuntud juba Vana-Kreekast saadik. See sai nime selle autori, Vana-Kreeka matemaatiku ja astronoomi järgi. Menelaus Aleksandriast(umbes 100 pKr). See teoreem on väga ilus ja lihtne, kuid kahjuks ei pöörata sellele kaasaegses koolis piisavalt tähelepanu. Ja vahepeal aitab see paljudel juhtudel väga lihtsalt ja elegantselt lahendada üsna keerulisi geomeetrilisi ülesandeid.

1. teoreem (Menelaose teoreem). Lõika ∆ABC sirge, mis ei ole küljega AB paralleelne ja lõikab selle kahte külge AC ja BC vastavalt punktides F ja E, kuid sirgega AB punktis D (Joonis 1),

siis A F FC * CE EB * BD DA = 1

Märge. Selle valemi hõlpsaks meeldejätmiseks võite kasutada järgmist reeglit: liikuge mööda kolmnurga kontuuri tipust joonega lõikepunkti ja lõikepunktist järgmisesse tippu.

Tõestus. Kolmnurga tippudest A, B, C tõmbame vastavalt kolm paralleelset sirget, kuni need lõikuvad lõikejoonega. Saame kolm paari sarnaseid kolmnurki (sarnasuse märk kahes nurgas). Kolmnurkade sarnasusest tulenevad järgmised võrdsused

Ja nüüd korrutame saadud andmed võrdsed:

Teoreem on tõestatud.

Selle teoreemi ilu tunnetamiseks proovime allpool pakutud geomeetrilist ülesannet lahendada kahel erineval viisil: abistava ehituse kasutamine ja abiga Menelaose teoreemid.

Ülesanne 1.

∆ABC jagab poolitaja AD külje BC suhtega 2 : 1. Millise suhtega jagab mediaan CE selle poolitaja?

Lahendus.

Abikonstruktsiooni abil:

Olgu S poolitaja AD ja mediaani CE lõikepunkt. Täiendame ∆ASB rööpkülikule ASBK. (Joonis 2)

On ilmne, et SE = EK, kuna rööpküliku lõikepunkt poolitab diagonaalid. Vaatleme nüüd kolmnurki ∆CBK ja ∆CDS. On lihtne näha, et need on sarnased (sarnasuse märk kahes nurgas: ja sisemiste ühepoolsete nurkadena paralleelsete joontega AD ja KB ning sekant CB). Kolmnurga sarnasus eeldab järgmist:

Kasutades tingimust, saame:

CB CD = CD + DB CD = CD + 2 CD CB = 3 CD CD = 3

Nüüd pange tähele, et rööpküliku vastaskülgedena on KB = AS. Siis

AS SD = KB SD = CB CD = 3

Menelaose teoreemi kasutamine.

Vaatleme ∆ABD ja rakendame sellele Menelaose teoreemi (punkte C, S, E läbiv sirge on lõikejoon):

BE EA * AS SD * DC CB = 1

Teoreemi tingimusel on meil BE/EA = 1, kuna CE on mediaan, ja DC/CB = 1/3, nagu me juba varem arvutasime.

1*AS SD*1 3=1

Siit saame AS/SD = 3 Esmapilgul on mõlemad lahendused üsna kompaktsed ja ligikaudu samaväärsed. Koolilastele mõeldud lisakonstruktsiooni idee osutub aga sageli väga keeruliseks ja mitte sugugi ilmselgeks, samas kui Menelaose teoreemi teadmisel piisab, kui ta seda õigesti rakendab.

Mõelge veel ühele probleemile, milles Menelaose teoreem töötab väga elegantselt.

2. ülesanne.

Külgedele AB ja BC ∆ABC on antud vastavalt punktid M ja N nii, et kehtivad järgmised võrdsused:

AM MB = CN NA = 1 2

Millises vahekorras jagab lõikude BN ja CM lõikepunkt S kõiki neid lõike (joonis 3)?

Lahendus.

Vaatleme ∆ABN-i. Selle kolmnurga jaoks rakendame Menelaose teoreemi (punkte M, S, C läbiv sirge on lõikejoon)

AM MB * BC SN * CN CA = 1

Ülesande olukorrast saame: AM MB = 1 2

NC CA = NC CN + NA = NC CN + 2NC = NC 3 NC = 1 3

Ühendades need tulemused, saame:

1 2 * BS SN * 1 3 = 1

Seega BS / SN = 6. Ja seetõttu jagab segmentide BN ja CM lõikepunkt S lõigu BN suhtega 6:1.

Mõelge ∆ACM-ile. Selle kolmnurga jaoks rakendame Menelaose teoreemi (punkte N, S, B läbiv sirge on lõikejoon):

AN NC * CS SM * MB BA = 1

Ülesande tingimusest saame: AN NC = 2

MB BA = MB BM + MA = 2MA 2MA + MA = 2 MB 3MA = 2 3

Ühendades need tulemused, saame:

2*CS-SM*2 3=1

Seega CS/SM = 3/4

Ja seetõttu jagab segmentide BN ja CM lõikepunkt S lõigu CM suhtega 3:4.

Kehtib ka vastupidine teoreem Menelaose teoreemile. Sageli osutub see veelgi kasulikumaks. See töötab eriti hästi tõestamisprobleemide korral. Tihti saavad selle abiga isegi olümpiaadiülesanded ilusti, lihtsalt ja kiiresti lahendatud.

2. teoreem(Menelaose pöördteoreem). Olgu kolmnurk ABC antud ja punktid D, E, F kuuluvad vastavalt sirgetele BC, AC, AB (pange tähele, et need võivad asuda nii kolmnurga ABC külgedel kui ka nende pikendustel) (Joonis 4).

Siis kui AF FC * CE EB * BD DA = 1

siis asuvad punktid D, E, F samal sirgel.

Tõestus. Tõestame teoreemi vastuoluga. Oletame, et teoreemi tingimusest tulenev seos on täidetud, kuid punkt F ei asu sirgel DE (joonis 5).

Tähistame sirgete DE ja AB lõikepunkti tähega O. Nüüd rakendame Menelaose teoreemi ja saame: AE EC * CD DB * BO OA = 1

Kuid teisest küljest on võrdsus BF FA = BO OA

ei saa teostada.

Seetõttu ei saa teoreemi tingimusest tulenev seos rahuldada. Meil tekkis vastuolu.

Teoreem on tõestatud.

saidil, materjali täieliku või osalise kopeerimise korral on nõutav link allikale.

CHEVA JA MENELAU TEOREEMID

Ceva teoreem

Enamiku kolmnurga tähelepanuväärsetest punktidest saab saada järgmise protseduuri abil. Olgu mingi reegel, mille järgi saame valida kindla punkti A 1 , kolmnurga ABC küljel BC (või selle laiendil) (valige näiteks selle külje keskpunkt). Seejärel konstrueerime sarnased punktid B 1, C 1 kolmnurga kahel teisel küljel (meie näites on veel kaks külgede keskpunkti). Kui valikureegel on edukas, suunake AA 1, BB 1, CC 1 lõikuvad mingis punktis Z (külgede keskpunktide valik selles mõttes on muidugi edukas, kuna kolmnurga mediaanid lõikuvad ühes punktis).

Tahaks mingit üldist meetodit, mis võimaldab kolmnurga külgedel olevate punktide asukohast määrata, kas vastav sirgete kolmik lõikub ühes punktis või mitte.

Universaalse tingimuse, mis selle probleemi "sulges", leidis 1678. aastal Itaalia insenerGiovanni Ceva .

Definitsioon. Lõike, mis ühendavad kolmnurga tippe vastaskülgede punktidega (või nende laienditega), nimetatakse tseviaanideks, kui need lõikuvad ühes punktis.

Ceviani asukoha määramiseks on kaks võimalust. Ühes versioonis punkt

ristumiskohad on sisemised ja tsevianide otsad asuvad kolmnurga külgedel. Teises versioonis on ristumispunkt väline, ühe tsevia ots asub küljel ja ülejäänud kahe tsevia otsad asuvad külgede pikendustel (vt jooniseid).

3. teoreem. (Ceva otsene teoreem) Suvalise kolmnurga ABC külgedel BC, CA, AB või nende laienditel võetakse vastavalt punktid A 1 , AT 1 , FROM 1 , nii et otse AA 1 , BB 1 , SS 1 ristuvad siis mingis ühises punktis

.

Tõestus: Kuna Ceva teoreemi originaaltõestusi on mitu, käsitleme tõestust, mis põhineb Menelaose teoreemi topeltrakendusel. Paneme esimest korda kirja Menelaose teoreemi seose kolmnurga jaoksABB 1 ja sekant CC 1 (tähistame ceviani ristumispunktiZ):

,

ja teist korda kolmnurga jaoksB 1 eKr ja sekant AA 1 :

.

Korrutades need kaks seost, tehes vajalikke taandusi, saame teoreemi väites sisalduva seose.

Teoreem 4. (Ceva pöördteoreem) . Kui kolmnurga külgedele valitud ABC või nende punktide laiendused A 1 , AT 1 ja C 1 Ceva seisund on rahuldatud:

,

siis otse AA 1 , BB 1 ja CC 1 ristuvad ühes punktis .

Selle teoreemi tõestamine toimub vastuoluga, nagu ka Menelaose teoreemi tõestus.

Vaatleme näiteid Ceva otsese ja pöördteoreemi rakendamisest.

Näide 3 Tõesta, et kolmnurga mediaanid lõikuvad ühes punktis.

Lahendus. Mõelge suhtele

kolmnurga tippude ja selle külgede keskpunktide jaoks. Ilmselgelt on lugejas ja nimetajas igas murrus võrdsed lõigud, seetõttu on kõik need murrud võrdsed ühega. Seetõttu on Ceva seos rahuldatud, seega pöördteoreemi järgi ristuvad mediaanid ühes punktis.

Teoreem (Ceva teoreem) . Lase punktid lamada külgedel ja kolmnurk vastavalt. Lase segmendid ja ristuvad ühes punktis. Siis

(minge ümber kolmnurga päripäeva).

Tõestus. Tähistage segmentide lõikepunkt ja . Punktidelt langemine ja joonega ristienne sellega punktides ristumist ja vastavalt (vt joonist).

Sest kolmnurgad ja neil on ühine pool, siis on nende alad seotud siiapoole tõmmatud kõrgustena, s.t. ja:

Viimane võrdsus on tõsi, kuna täisnurksed kolmnurgad ja teravnurgaga sarnane.

Samamoodi saame

ja

Korrutame need kolm võrdsust:

Q.E.D.

Mediaanide kohta:

1. Asetage kolmnurga ABC tippudesse massiühikud.
2. Punktide A ja B massikese asub punkti AB keskel. Kogu süsteemi massikese peab asuma külje AB mediaanil, kuna kolmnurga ABC massikese on punktide A ja B ning punkti C massikeskme massikese.
(see läks segaseks)
3. Samamoodi – CM peaks asuma mediaanil külgedel AC ja BC
4. Kuna CM on ainus punkt, peavad kõik need kolm mediaani selles lõikuma.

Muide, sellest järeldub kohe, et need jagatakse ristmikuga suhtega 2: 1. Kuna punktide A ja B massikeskme mass on 2 ja punkti C mass on 1, jagab ühine massikese vastavalt proportsiooniteoreemile mediaani suhtega 2/1.

Tänan teid väga, see on esitatud ligipääsetaval viisil, ma arvan, et poleks üleliigne esitada tõendeid massigeomeetria meetodite abil, näiteks:
Sirged AA1 ja CC1 lõikuvad punktis O; AC1: C1B = p ja BA1: A1C = q. Peame tõestama, et sirge BB1 ​​läbib punkti O siis ja ainult siis, kui CB1: B1A = 1: pq.
Asetame massid 1, p ja pq vastavalt punktidesse A, B ja C. Siis on punkt C1 punktide A ja B massikese ning punkt A1 punktide B ja C massikese. Seetõttu on antud massiga punktide A, B ja C massikeseks punkti O punkt O. joonte CC1 ja AA1 ristumiskoht. Teisest küljest asub punkt O segmendil, mis ühendab punkti B punktide A ja C massikeskmega. Kui B1 on punktide A ja C massikese 1 ja pq, siis AB1: B1C = pq: 1. Tuleb märkida, et segmendil AC on üks punkt, mis jagab selle suhtega AB1:B1C.

2. Ceva teoreem

Nimetatakse lõiku, mis ühendab kolmnurga tippu, mille vastasküljel on mõni punktceviana . Seega, kui kolmnurgasABC X , Y ja Z - punktid külgedeleKr , CA , AB vastavalt siis segmendidAX , KÕRVAL , cz on Chevianid. Mõiste pärineb itaalia matemaatikult Giovanni Cevalt, kes avaldas 1678. aastal järgmise väga kasuliku teoreemi:

Teoreem 1.21. Kui kolmnurga ABC kolm tseviaani AX, BY, CZ (üks igast tipust) on võistlevad, siis

|BX||XC|· |CY||YA|· |AZ||ZB|=1 .

Kui me ütleme, et kolm rida (või segmenti)konkurentsivõimeline , siis me mõtleme, et nad kõik läbivad ühte punkti, mida me tähistameP . Ceva teoreemi tõestamiseks tuletage meelde, et võrdse kõrgusega kolmnurkade pindalad on võrdelised kolmnurkade alustega. Viidates joonisele 3, on meil:

|BX||XC|= SABXSAXC= SPBXSPXC= SABX-SPBXSAXC-SPXC= SABPSCAP.

Samamoodi

|CY||YA|= SBCPSABP, |AZ||ZB|= SCAPSBCP.

Nüüd, kui me neid korrutame, saame

|BX||XC|· |CY||YA|· |AZ||ZB|= SABPSCAP· SBCPSABP· SCAPSBCP=1 .

Selle teoreemi pöördväärtus on samuti tõsi:

Teoreem 1.22. Kui kolm tseviaani AX, BY, CZ rahuldavad seost

|BX||XC|· |CY||YA|· |AZ||ZB|=1 ,

siis on nad konkurentsivõimelised .

Selle näitamiseks oletame, et kaks esimest tsevianid ristuvad punktisP , nagu enne, ja punkti läbiv kolmas cevianaP , saabCZ' . Seejärel teoreemi 1.21 järgi

|BX||XC|· |CY||YA|· |AZ′||Z'B|=1 .

Aga eeldusel

|BX||XC|· |CY||YA|· |AZ||ZB|=1 .

Järelikult

|AZ||ZB|= |AZ′||Z'B| ,

punktZ' langeb kokku punktigaZ , ja oleme tõestanud, et segmendidAX , KÕRVAL jacz konkurentsivõimeline (, lk 54 ja , lk 48, 317).

A.V. Ševkin

FMS nr 2007

Ceva ja Menelaose teoreemid ühtse riigieksami kohta

Üksikasjalik artikkel "Ceva ja Menelaose teoreemide ümber" on avaldatud meie veebisaidi jaotises ARTIKLID. See on suunatud matemaatikaõpetajatele ja gümnasistidele, kes on motiveeritud omama häid teadmisi matemaatikast. Kui soovite probleemist üksikasjalikumalt aru saada, võite selle juurde tagasi pöörduda. Selles märkuses anname lühiteavet mainitud artiklist ja analüüsime ühtse riigieksami-2016 ettevalmistamise kogumiku probleemide lahendusi.

Ceva teoreem

Olgu kolmnurk antud ABC ja selle külgedel AB, eKr ja AC punktid on märgitud C 1 , A 1 ja B 1 vastavalt (joonis 1).

a) Kui segmendid AA 1 , BB 1 ja CC 1 ristuvad siis ühes punktis

b) Kui võrdus (1) on tõene, siis lõigud AA 1 , BB 1 ja CC 1 ristuvad ühes punktis.

Joonisel 1 on näidatud juhtum, kui segmendid AA 1 , BB 1 ja CC 1 lõikub ühes punktis kolmnurga sees. See on nn sisemine punkti juhtum. Ceva teoreem kehtib ka välise punkti puhul, kui üks punktidest AGA 1 , B 1 või FROM 1 kuulub kolmnurga külgedele ja ülejäänud kaks kuuluvad kolmnurga külgede pikendustele. Sel juhul segmentide lõikepunkt AA 1 , BB 1 ja CC 1 asub väljaspool kolmnurka (joonis 2).

Kuidas Cheva võrrandit meeles pidada?

Pöörame tähelepanu võrdsuse meeldejätmise meetodile (1). Kolmnurga tipud igas seoses ja seosed ise kirjutatakse kolmnurga tippudest möödasõidu suunas ABC, alustades punktist A. punktist A mine asja juurde B, me kohtume punktiga FROM 1, kirjutage murdosa üles
. Punktist kaugemale AT mine asja juurde FROM, me kohtume punktiga AGA 1, kirjutage murdosa üles
. Lõpuks punktist FROM mine asja juurde AGA, me kohtume punktiga AT 1, kirjutage murdosa üles
. Välise punkti puhul säilib murdude kirjutamise järjekord, kuigi lõigu kaks "jaotuspunkti" on väljaspool oma segmente. Sellistel juhtudel ütleme, et punkt jagab lõigu väliselt.

Pange tähele, et mis tahes lõiku, mis ühendab kolmnurga tippu ja mis tahes punkti joonel, mis sisaldab kolmnurga vastaskülge, nimetatakse ceviana.

Vaatleme mitmeid viise Ceva teoreemi väite a) tõestamiseks sisepunkti puhul. Ceva teoreemi tõestamiseks tuleb tõestada väidet a) mis tahes allpool pakutud meetodiga ning samuti väidet b). Väite b) tõestus esitatakse pärast väite a) esimest tõendamisviisi. Ceva teoreemi tõestused välise punkti puhul viiakse läbi sarnaselt.

Ceva teoreemi väite a) tõestus, kasutades teoreemi võrdeliste lõikude kohta

Las kolm tseviani AA 1 , BB 1 ja CC 1 ristuvad punktis Z kolmnurga sees ABC.

Tõestuse mõte on asendada võrdsuse (1) lõikude suhted samal sirgel asuvate segmentide suhetega.

Läbi punkti AT tõmmake cevianaga paralleelne joon SSüks . Otse AA 1 lõikub konstrueeritud sirgega punktis M, ja punkti läbiv sirge C ja paralleelselt AA 1 , - punktis T. läbi punktide AGA ja FROM tõmmake tsevianidega paralleelsed sirgjooned BBüks . Nad lähevad üle piiri VM punktides N ja R vastavalt (joonis 3).

P proportsionaalsete segmentide teoreemi kohta on meil:

,
ja
.

Siis võrdsused

.

Rööpkülikukujulistes ZCTM ja ZCRB segmendid TM, СZ ja BR võrdne rööpküliku vastaskülgedega. Järelikult
ja võrdsus on tõsi

.

Väite b) tõestamisel kasutame järgmist väidet. Riis. 3

Lemma 1. Kui punktid FROM 1 ja FROM 2 jagage lõige AB sisemine (või väline) pilt samast aspektist, samast punktist lugedes, siis need punktid langevad kokku.

Tõestame lemma juhul, kui punktid FROM 1 ja FROM 2 jagage lõige AB sisemiselt samas mõttes:
.

Tõestus. Võrdsusest
järgnevad võrdsused
ja
. Viimane neist täidetakse ainult tingimusel, et FROM 1 B ja FROM 2 B on võrdsed, st tingimusel, et punktid FROM 1 ja FROM 2 vastet.

Tõestus lemma kohta juhul, kui punktid FROM 1 ja FROM 2 jagage lõige AB väliselt sarnasel viisil.

Ceva teoreemi väite b) tõestus

Nüüd olgu võrdsus (1) tõsi. Tõestame, et segmendid AA 1 , BB 1 ja CC 1 ristuvad ühes punktis.

Las cevianid AA 1 ja BB 1 ristuvad punktis Z, joonistage lõik läbi selle punkti CC 2 (FROM 2 asub segmendil AB). Seejärel saame väite a) põhjal õige võrdsuse

. (2)

Ja Võrreldes võrdusi (1) ja (2), järeldame, et
, st punktid FROM 1 ja FROM 2 jagage lõige AB samas vahekorras, samast punktist lugedes. Lemma 1 tähendab, et punktid FROM 1 ja FROM 2 vastet. See tähendab, et segmendid AA 1 , BB 1 ja CC 1 lõikuvad ühes punktis, mida tuli tõestada.

Saab tõestada, et võrdsuse (1) kirjutamise protseduur ei sõltu sellest, millises punktis ja mis suunas kolmnurga tippe mööda minnakse.

1. harjutus. Leidke lõigu pikkus AGAN joonisel 4, mis näitab teiste segmentide pikkusi.

Vastus. 8.

2. ülesanne. cevians OLEN, BN, CK lõikuvad ühes punktis kolmnurga sees ABC. Leia suhtumine
, kui
,
. Riis. neli

Vastus.
.

P esitame Ceva teoreemi tõestuse artiklist. Tõestuse mõte on asendada võrdsuse (1) lõikude suhted paralleelsetel joontel paiknevate lõikude suhetega.

Lase sirgeks AA 1 , BB 1 , CC 1 ristuvad punktis O kolmnurga sees ABC(joonis 5). Läbi tipu FROM kolmnurk ABC tõmmake paralleelne joon AB, ja selle lõikepunktid joontega AA 1 , BB 1 tähistab vastavalt A 2 , B 2 .

Kahe kolmnurga paari sarnasusest CB 2 B 1 ja ABB 1 , BAA 1 ja CA 2 A 1, joonis fig. 5

meil on võrdsus

,
. (3)

Kolmnurkade sarnasusest eKr 1 O ja B 2 CO, AFROM 1 O ja A 2 CO meil on võrdsus
, millest järeldub, et

. (4)

P korrutades võrrandid (3) ja (4), saame võrdsuse (1).

Ceva teoreemi väide a) on tõestatud.

Vaatleme Ceva teoreemi väite a) tõestusi sisepunkti alade abil. Seda on kirjas A.G. Myakishev ja põhineb väidetel, mille sõnastame ülesannete vormis 3 ja 4 .

3. ülesanne. Kahe ühise tipuga kolmnurga ja samal sirgel asuvate aluste pindalade suhe on võrdne nende aluste pikkuste suhtega. Tõesta see väide.

4. ülesanne. Tõesta, et kui
, siis
ja
. Riis. 6

Lase segmendid AA 1 , BB 1 ja CC 1 ristuvad punktis Z(joonis 6), siis

,
. (5)

Ja võrdustest (5) ja ülesande teisest lausest 4 järgib seda
või
. Samamoodi saame sellest aru
ja
. Korrutades kolm viimast võrdsust, saame:

,

st võrdsus (1) on tõene, mida tuli tõestada.

Ceva teoreemi väide a) on tõestatud.

Ülesanne 15. Olgu tsevianid kolmnurga sees ühes punktis ja jagage see 6 kolmnurgaks, mille pindala on võrdne S 1 , S 2 , S 3 , S 4 , S 5 , S 6 (joonis 7). Tõesta seda . Riis. 7

6. ülesanne. Leia piirkond S kolmnurk CNZ(teiste kolmnurkade pindalad on näidatud joonisel 8).

Vastus. 15.

Ülesanne 7. Leia piirkond S kolmnurk CNO kui kolmnurga pindala AGAEI on 10 ja
,
(joonis 9).

Vastus. 30.

Ülesanne 8. Leia piirkond S kolmnurk CNO kui kolmnurga pindala AGAeKr on võrdne 88 ja ,
(joonis 9).

R lahendus. Alates , tähistame
,
. Sest , siis tähistame
,
. Ceva teoreemist järeldub, et
, ja siis
. Kui a
, siis
(joonis 10). Meil on kolm tundmatut ( x, y ja S), nii et leida S Teeme kolm võrrandit.

Sest
, siis
= 88. Alates
, siis
, kus
. Sest
, siis
.

Niisiis,
, kus
. Riis. kümme

Ülesanne 9. Kolmnurgas ABC punktid K ja L kuuluvad vastavalt osapooltele AB ja BC.
,
. P AL ja CK. Kolmnurga pindala PBC võrdub 1. Leidke kolmnurga pindala ABC.

Vastus. 1,75.

T Menelaose teoreem

Olgu kolmnurk antud ABC ja selle külgedel AC ja CB punktid on märgitud B 1 ja A 1 vastavalt ja külje jätkamisel AB märgitud punkt C 1 (joonis 11).

a) Kui punktid AGA 1 , B 1 ja FROM 1 lama siis samal real

. (6)

b) Kui võrdus (7) on tõene, siis punktid AGA 1 , B 1 ja FROM 1 asub samal real. Riis. üksteist

Kuidas meeles pidada Menelaose võrdsust?

Võrdsuse (6) meeldejätmise tehnika on sama, mis võrdsuse (1) puhul. Kolmnurga tipud igas seoses ja seosed ise kirjutatakse kolmnurga tippudest möödasõidu suunas ABC- tipust tippu, läbides jaotuspunkte (sisemine või välimine).

Ülesanne 10. Tõesta, et võrdsuse (6) kirjutamisel kolmnurga mis tahes tipust suvalises suunas saadakse sama tulemus.

Menelaose teoreemi tõestamiseks tuleb tõestada väide a) mis tahes allpool pakutud meetoditega ning samuti väide b). Väite b) tõestus esitatakse pärast väite a) esimest tõendamisviisi.

Väite tõestus a) kasutades teoreemi võrdeliste lõikude kohta

Itee. a) Tõestuse mõte on asendada võrdsuses (6) olevate lõikude pikkuste suhted ühel sirgel asuvate lõikude pikkuste vahekordadega.

Lase punktid AGA 1 , B 1 ja FROM 1 asub samal real. Läbi punkti C tõmbame sirge l, paralleelselt joonega AGA 1 B 1, see lõikub joonega AB punktis M(joonis 12).

R
on. 12

Vastavalt proportsionaalsete segmentide teoreemile on meil:
ja
.

Siis võrdsused
.

Menelaose teoreemi väite b) tõestus

Nüüd olgu võrdsus (6) tõsi, me tõestame, et punktid AGA 1 , B 1 ja FROM 1 asub samal real. Lase sirgeks AB ja AGA 1 B 1 ristuvad punktis FROM 2 (joonis 13).

Alates punktidest AGA 1 B 1 ja FROM 2 asuvad samal real, siis Menelaose teoreemi väite a) järgi

. (7)

Võrdluste (6) ja (7) võrdlusest saame
, millest järeldub, et võrdsused

,
,
.

Viimane võrdsus kehtib ainult tingimusel
, st kui punktid FROM 1 ja FROM 2 vastet.

Menelaose teoreemi väide b) on tõestatud. Riis. 13

Väite a) tõestamine kolmnurkade sarnasuse abil

Tõestuse mõte on asendada võrdsuse (6) lõikude pikkuste suhted paralleelsetel joontel paiknevate lõikude pikkuste vahekordadega.

Lase punktid AGA 1 , B 1 ja FROM 1 asub samal real. Punktidest A, B ja C joonestada risti AA 0 , BB 0 ja SS 0 sellele sirgele (joonis 14).

R
on. neliteist

Kolme paari kolmnurga sarnasusest AA 0 B 1 ja CC 0 B 1 , CC 0 A 1 ja BB 0 A 1 , C 1 B 0 B ja C 1 A 0 A(kahes nurgas) on meil õiged võrdsused

,
,
,

korrutades need, saame:

.

Menelaose teoreemi väide a) on tõestatud.

Väite tõendamine a) alade kasutamine

Tõestuse mõte on asendada võrdsuse (7) lõikude pikkuste suhe kolmnurkade pindalade suhetega.

Lase punktid AGA 1 , B 1 ja FROM 1 asub samal real. Ühendage punktid C ja Cüks . Tähistage kolmnurkade pindala S 1 , S 2 , S 3 , S 4 , S 5 (joonis 15).

Siis võrdsused

,
,
. (8)

Võrdsete (8) korrutamisel saame:

Menelaose teoreemi väide a) on tõestatud.

R
on. viisteist

Nii nagu Ceva teoreem jääb kehtima, kui Cevia lõikepunkt asub väljaspool kolmnurka, jääb kehtima Menelaose teoreem, kui sekant lõikub ainult kolmnurga külgede pikendustega. Sel juhul saame rääkida kolmnurga külgede lõikepunktidest välistes punktides.

Väite tõendamine a) väliste punktide puhul

P sekandi suu lõikub kolmnurga külgedega ABC välispunktides, st lõikub külgede pikendustega AB,eKr ja AC punktides C 1 , A 1 ja B 1 ja need punktid asuvad samal sirgel (joonis 16).

Vastavalt proportsionaalsete segmentide teoreemile on meil:

ja .

Siis võrdsused

Menelaose teoreemi väide a) on tõestatud. Riis. 16

Pange tähele, et ülaltoodud tõestus langeb kokku Menelaose teoreemi tõestusega juhuks, kui sekant lõikub kolmnurga kahte külge sisemistes punktides ja ühte välispunktides.

Menelaose teoreemi väite b) tõestus väliste punktide puhul on sarnane ülaltoodud tõestusega.

Z põrgu11. Kolmnurgas ABC punktid AGA 1 , AT 1 asuvad vastavalt külgedel päike ja AFROM. P- segmentide lõikepunkt AA 1 ja BB 1 .
,
. Leia suhtumine
.

Lahendus. Tähistage
,
,
,
(joonis 17). Menelaose teoreemi järgi kolmnurga kohta eKrAT 1 ja sekant PA 1 kirjutage õige võrdus:

,

kust see järeldub

. Riis. 17

Vastus. .

Z põrgu12 (Moskva Riiklik Ülikool, kirjavahetuse ettevalmistuskursused). Kolmnurgas ABC, mille pindala on 6, küljel AB sain aru To, jagades selle poole suhtes
, ja küljel AC- punkt L, jagamine AC suhtes
. Punkt P joonte ristumiskohad SC ja ATL rivist eemaldatud AB 1,5 kaugusel. Leidke külje pikkus AB.

Lahendus. Punktidest R ja FROM laseme ristid maha PR ja CM otse AB. Tähistage
,
,
,
(joonis 18). Menelaose teoreemi järgi kolmnurga kohta AKC ja sekant PL kirjuta õige võrrand:
, kust me selle saame
,
. Riis. kaheksateist

Kolmnurkade sarnasusest ToMC ja ToRP(kahe nurga peal) saame selle
, kust see järeldub
.

Nüüd, teades küljele tõmmatud kõrguse pikkust AB kolmnurk ABS, ja selle kolmnurga pindala, arvutame külje pikkuse:
.

Vastus. 4.

Z põrgu13. Kolm keskpunktidega ringi AGA,AT,FROM, mille raadiused on seotud kui
, puudutage üksteist punktides väliselt X, Y, Z nagu on näidatud joonisel 19. Segmendid AX ja KÕRVAL ristuvad punktis O. Millises vahekorras, punktist lugedes B, joonelõik cz jagab segmendi KÕRVAL?

Lahendus. Tähistage
,
,
(joonis 19). Sest
, siis Ceva teoreemi väitega b) lõigud AGAX, KÕRVAL ja FROMZ ristuvad ühes punktis O. Siis segment cz jagab segmendi KÕRVAL suhtes
. Leiame selle suhte. Riis. 19

Menelaose teoreemi järgi kolmnurga kohta BCY ja sekant HÄRG meil on:
, kust see järeldub
.

Vastus. .

Ülesanne 14 (USE-2016).

punktid AT 1 ja FROM AC ja AB kolmnurk ABC, enamgi veel AB 1:B 1 FROM =
= AC 1:FROM 1 B. Otsene BB 1 ja SS 1 ristuvad punktis O.

a ) Tõesta, et joon JSC poolitama külg Päike.

AB 1 OC 1 kolmnurga pindalale ABC kui see on teada AB 1:B 1 FROM = 1:4.

Lahendus. a) Lase rida AO ületab külje eKr punktis A 1 (joonis 20). Ceva teoreemi järgi on meil:

. (9)

Sest AB 1:B 1 FROM = AC 1:FROM 1 B, siis võrdsusest (9) järeldub, et
, see on CA 1 = AGA 1 B, mida tuli tõestada. Riis. kakskümmend

b) Olgu kolmnurga pindala AB 1 O on võrdne S. Sest AB 1:B 1 FROM CB 1 O võrdub 4 S, ja kolmnurga pindala AOC võrdub 5-ga S. Seejärel kolmnurga pindala AOB on samuti võrdne 5-ga S, kuna kolmnurgad AOB ja AOC on ühisosa AO, ja nende tipud B ja C joonest võrdsel kaugusel AO. Ja kolmnurga pindala AOC 1 võrdub S, sest AC 1:FROM 1 B = 1:4. Seejärel kolmnurga pindala ABB 1 võrdub 6 S. Sest AB 1:B 1 FROM= 1:4, siis kolmnurga pindala CB 1 O võrdub 24 S, ja kolmnurga pindala ABC võrdub 30-ga S. Nüüd leiame nelinurga pindala suhte AB 1 OC 1 (2S) kolmnurga pindalale ABC (30S), võrdub 1:15.

Vastus. 1:15.

Ülesanne 15 (USE-2016).

punktid AT 1 ja FROM 1 asuvad vastavalt külgedele AC ja AB kolmnurk ABC, enamgi veel AB 1:B 1 FROM =
= AC 1:FROM 1 B. Otsene BB 1 ja SS 1 ristuvad punktis O.

a) Tõesta, et sirge JSC poolitama külg Päike.

b) Leidke nelinurga pindala suhe AB 1 OC 1 kolmnurga pindalale ABC kui see on teada AB 1:B 1 FROM = 1:3.

Vastus. 1:10.

Z ülesanne 16 (USE-2016). Segmendil BD sain aru FROM. Poolitaja BL ABC koos alusega päike BLD koos alusega BD.

a) Tõesta, et kolmnurk DCL võrdhaarne.

b) On teada, et cos
ABC DL, st kolmnurk BD sain aru FROM. Poolitaja BL võrdhaarne kolmnurk ABC koos alusega päike on võrdhaarse kolmnurga külgkülg BLD koos alusega BD.

a) Tõesta, et kolmnurk DCL võrdhaarne.

b) On teada, et cos ABC= . Mil viisil on otsene DL poolitab AB?

Vastus. 4:21.

Kirjandus

1. Smirnova I.M., Smirnov V.A. Imelised kolmnurga täpid ja jooned. M.: Matemaatika, 2006, nr 17.

2. Mjakišev A.G. Kolmnurga geomeetria elemendid. (sari "Raamatukogu "Matemaatikaõpe"). M.: MTsNMO, 2002. - 32 lk.

3. Geomeetria. Lisapeatükid 8. klassi õpikule: Õpik süvaõppega koolide ja klasside õpilastele / L.S. Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev ja teised - M.: Vita-Press, 2005. - 208 lk.

4. Erdniev P., Mantsaev N. Cheva ja Menelaus teoreemid. M.: Kvant, 1990, nr 3, lk 56–59.

5. Sharygin I.F. Ceva ja Menelaose teoreemid. Moskva: Kvant, 1976, nr 11, lk 22–30.

6. Vavilov V.V. Kolmnurga mediaanid ja keskjooned. M.: Matemaatika, 2006, nr 1.

7. Efremov Dm. Uus kolmnurga geomeetria. Odessa, 1902. - 334 lk.

8. Matemaatika. 50 tüüpiliste testülesannete varianti / I.V. Jaštšenko, M.A. Volkevitš, I.R. Võssotski ja teised; toim. I.V. Jaštšenko. - M .: Kirjastus "Eksam", 2016. - 247 lk.